Cos 0.25 = l-(0.25)2 /2!+(0.25)4 /4! +...+ (-l)n(0.25)2n /(2n)!
Результат получится тем точнее, чем больше слагаемых будет использовано. Ошибка вычислений будет равна сумме остатка ряда, начинающегося с (n+-l)-ro члена.
Если полученный ряд знакочередующийся, то, на основаниии теоремы Лейбница, для обеспечения погрешности,и можно не учитывать слагаемое, значение которого меньше, чем e. Для рядов с положительными членами погрешность оценивается с учетом скорости сходимости ряда. , но Иногда часто (в том числе и в наших заданиях) для вычисления с точностью e следует остановить подсчет на том слагаемом, которое окажется меньше e.
Вычисление определенных интегралов с помощью рядов.
Существуют определенные интегралы, которые как функции верхнего предела не выражаются в конечном виде через элементарные функции либо нахождение первообразной сложно. Такие интегралы иногда бывает удобно вычислять с помощью рядов.
Пусть требуется вычислить 
с точностью до 
. Если подынтегральную функцию 
можно разложить в ряд по степеням x и интервал сходимости
(-R;R) включит в себя отрезок 
, то для вычисления заданного интеграла можно воспользоваться свойством почленного интегрирования этого ряда. Ошибку вычислений определяют так же, как и при вычислении значений функции.
Интегрирование дифференциальных уравнений с помощью рядов.
Если решение дифференциального уравнения не выражается через элементарные функции в конечном виде или способ его решения слишком сложен, то прибегают к приближенным методам интегрирования уравнения. Одним из таких методов является представление решения уравнения в виде ряда Тейлора; сумма конечного числа членов этого ряда будет приближенно равняться искомому частному решению.
Пусть, например, требуется решить уравнение
, (13),
удовлетворяющее начальным условиям
. (14).
6 Решение 
уравнения (13) ищем в виде ряда Тейлора (3), при этом первые два коэффициента находим из начальных условий (14). Подставив в уравнение (13) значения 
, находим третий коэффициент: 
. Значения 
находим путем последовательного дифференцирования уравнения (13) по x и вычисления производных при
. Найденные значения производных подставляем в равенство (3). Ряд (3) представляет искомое частное решение уравнения (13) для тех значений x, при которых он сходится. Частичная сумма этого ряда будет приближенным решением дифференциального уравнения(13).
Рассмотренный способ применим и для построения общего решения уравнения (13), если 
и 
рассматривать как произвольные постоянные.
Рассмотренный способ последовательного дифференцирования применим для решения дифференциальных уравнений любого порядка.
|
Из за большого объема этот материал размещен на нескольких страницах:
1 2 3 4 |
