7

Практическое задание.

Из приложения 1 каждый студент выбирает задания своего вари­анта и проводит приближенные вычисления с точностью e= 0,0001 путем разложения в ряд соответствующих функций.

ППримеры вычислений:

Вариант 30.

№1. Вычислить с точностью до 0,0001.

Решение: Заменив в подынтегральном выражении его разложением в степенной ряд ,

получим

Полученный ряд знакочередующийся и третий член ряда (подчеркнутый) меньше 0,0001, то его можно не учитывать.

№N2. Вычислить .

e-0.3

Решение: Записываем разложение в ряд функции еx:

ex = 1 + х + x2 /2!+х3 /3! + ... при х=-0,3

Вычисляем последовательно каждое слагаемое при х=--0,.3 до тех пор, пока не получимдостигнем значение меньшеея 0,0001. Это и пос­ледующие слагаемые можно не учитывать.

e-0.3 =1-0,3+0,045-0,0045+0,0003377–5 - 0,00002 +...

Т. к. полученный ряд знакочередующийся и шестой член ряда (подчеркнутый) равен 0,00002, т. е. меньше чем

e =0,0001, то его уже можно не учитывать. Сумма оставшихся членов ряда равна 0,740838.

Следовательно, e-0.3 = 0,7408 с точностью e= 0,0001.

№N3.

Вычислить .

Решение: Т. к. близким к числу 24 числом, из которого легко извлека­ется корень 5-й степени, является число 32, то преобразуем

Вычисление 5Ö24 сводится к вычислению бинома . сводится к вычислению бинома (1-1/4)1/5.

Записываем разложение в ряд бинома (1+х)m:

(1+x)m =1+mx+m(m-1)/2!x2...+m(m-1)(m-2)...(m-n+1)/n! xn+...

Вычисляем каждое слагаемое при m=1/5 и х=(-1/4) до тех пор, пока достигнем значения 0,0001:

8

(1-1/4)1/5 = 1+1/5(-1/4) + 1/5(-4/5)(-1/4)2 +

1 2

+ 1/5(-4/5)(-9/5)(-1/4)3 +

6

+ 1/5(-4/5)(-9/5)(-14/5)(-1/4)4 +

24

+ 1/5(-4/5)(-9/5)(-14/5)(-19/5)(-1/4)5

120

(1-1/4)1/5 =(1-0,05-0,005-0,00075-0,000131-0,000025)

Т. к. шестое слагаемое (подчёркнутое) получилось меньше, чем e=0,0001, и видно, что в дальнейшем слагаемые будут уменьшаться быстро из-за увеличения n и, соответственно n!, то требуемая точность обеспечивается, если найти сумму этих шести слагаемых.

Следовательно, с точностью до 0,0001

а .

(1-1/4)1/5 =0,944094, а 5Ö24 =2(1-1/4)1/5 =1,8882.

№4. Вычислить с точностью до 0,0001.

Решение: Воспользуемся разложением в ряд, полагая . Имеем

Достаточно взять три члена ряда, так как Тогда

№5. Проинтегрировать приближенно с помощью ряда Тейлора уравнение , взяв первые шесть членов разложения, отличных от нуля.

Решение: Из уравнения и начальных условий находим . Дифференцируя данное уравнение, последовательно получаем

Полагая и используя значения , последовательно находим .

Искомое решение имеет вид

9

Приложение 1.

Набор заданий.

Задания 1-4. Вычислить с точностью до e=0,0001.

Из за большого объема этот материал размещен на нескольких страницах:
1 2 3 4