Лабораторная работа «Приближённые вычисления с помощью рядов» (стр. 1 )

Федеральное агентство

по сельскому хозяйству Р. Ф.

ФГОУ ВПО “Орловский государственный аграрный университет”.

Кафедра математики.

Лабораторная работа

«Приближённые вычисления

с помощью рядов.»

Методические указания ЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯи набор заданий

для выполнения типового расчета,

лабораторной работы и

самостоятельной работы

предназначены для студентов дневного отделения инженерных специальностей.

Составитель: старший преподаватель И НАБОР ЗАДАНИЙ ДЛЯ ВЫПОЛНЕНИЯ ТИПОВОГО РАСЧЁТА И ЛАБОРАТОРНОЙ РАБОТЫ

Содержание:

1. Цель……………………………………………………………. 4стр.

2. Краткие теоретические сведения……………………………. 5стр.

3. Примеры вычислений……………… ………………………………9стр.

4. Набор заданий…………… …………………………………….. 13стр.

5. Литература…………………………. ……………………………17стр.

Приближенные вычисления с помощью рядов.

Цель: Отработка навыков приближенных вычислений различных фун­кций при заданных значениях аргумента ,и приближенных вычислений определенных интегралов и интегрировании дифференциальных уравнений с использованием известных разложений функций в степенные ряды.

Порядок выполнения работы: из набора заданий каждый студент выбирает задания своего варианта и проводит приближенные вычисления с точностью до 0,0001 путем разложения в ряд соответствующих функций.

4

Краткие теоретическиеая сведения.

Приближенные вычисления значений функций с помощью степенных рядов.

В инженерной практике, а также при выполнении различных расчетно-графических и курсовых работ, часто приходится вычислять значения тригонометрических, показательных, иррациональных и других функций. Приближенно такие вычисления можно производить, представив заданную функцию в виде степенного ряда:

f(x)=а0+a1(x-х0)+а2(х-х0)2+...+аn(х-х0)2+... (1) (1)

или

f(х)=а0+a1x + a2x2 +...+anxn+... (2)

Коэффициенты a0,a1,a2,...,аn,... находятся вычислением значений функции f(х) и ее производных при х=х0.Подставляя их в (1) и (2) получим:

f(x)=f(x0)+f(x0)(x-x0)/1!+f(x0)(x-x0)2/2!+...+f(x0)(x-x0)n/n!+… (3)

или

f(x)=f(0)+f(0)x/1!+f(0)x2/2!\+...+f(0)xn/n! +... (4)

Ряд (3) называется рядом Тейлора, а ряд (44) - рядом Маклорена. Очевидно, что найти коэффициенты рядов (3) или (4) можно, если f(x)- дифференцируемая бесконечное число раз функция, и если все ее производные существуют при х=х0 или, соответственно, при х=0.

Легко получить разложение в ряд Маклорена следующих функций:

Sin х =х-х3/3!+х5/5!-...+(-l)n+1 х2n-1/(2n-1)!+ ... (5)

Cos x =1-х2/2!-х4/4! -... +(-1)n Х2n /(2n)! + ... (6)

ех =1+х+х2 /2!+х3 /3! + ... + xn /n! + ... (7)

(1 +x)m =1+mx+m(m-1)/2! X2 +...+ m(m-1)(m-2)...(m-n+1)/n! xn... (8)

1/(1+x) =(1+x)-1=1-x+x2-x3+...+(-1)n xn+... (9)

ln(1+x) =0òx(1+x)-1dx=x-x2/2+x3/3+...+(-1)n+1xn/n (10)

Arctg x=0òx(1+x2)-1dx=x-x3/3+х5/5-...+(-l)2n-1/2n-l +... (11)

(12)

Радиусы сходимости (соответственно области сходимости) опре­деляются по формуле:

,

где

5

гдеап и аП+1 - коэффициенты n-ого и (n+1)-го членов ряда.

Ряды, соответствующие функциям (55) - (7), имеют область сходимос­ти: -∞< х < +∞, а ряды, соответствующие функциям (88) - (121), имеют область сходимости: -1 <х < 1 .

Используя формулы (55) - (121) можно приближенно вычислять зна­чения функций f(х) ппри любых значениях xх из области сходимости. Для этого достаточно вычислить сумму первых n членов ряда. Так,