Лабораторная работа № 1.

Методы решения алгебраических и трансцендентных уравнений.

1. Задание.

С помощью методов бисекций, простых итераций и Ньютона решить уравнение f(x) = 0.

2. Теоретическое описание методов, условий сходимости, влияния выбора начальной точки и других факторов на процесс и результаты вычислений приведены в лекции 3.

3. Порядок выполнения работы

3.1. Порядок выполнения лабораторной работы с помощью метода бисекций.

1.  Графически или аналитически отделить корень уравнения f(x) = 0 (т. е. найти отрезок [a, b], на котором функция f(x) удовлетворяет условиям теоремы Больцано-Коши).

2.  Написать функцию вычисления корня уравнения f(x) = 0, найти корень уравнения.

3.2. Порядок выполнения лабораторной работы с помощью метода простых итераций.

1. Графически или аналитически отделить корень уравнения f(x) = 0.

2.  Преобразовать уравнение f(x) = 0 к виду x = j(x) так, чтобы в некоторой окрестности [a, b] корня x производная j¢(x) удовлетворяла условию |j¢(x)|£q<1. При этом следует помнить, что чем меньше q, тем быстрее последовательные приближения сходятся к корню.

3.  Выбрать начальное приближение, лежащее на отрезке [a, b].

4.  Используя пакет MathCAD, написать функцию для нахождения корня уравнения.

5.  Провести вычисления для заданной функции.

3.3. Порядок выполнения лабораторной работы с помощью метода Ньютона

1.  Графически или аналитически отделить корень уравнения f(x) = 0. Убедиться, что на найденном отрезке [a, b] функция f(x) удовлетворяет условиям сходимости метода Ньютона.

2.  Выбрать начальное приближение корня x0Î[a, b] так, чтобы f¢(x0)f²(x0)>0.

3.  Оценить снизу величину , оценить сверху величину .

4.  По заданному e0 выбрать значение e для условия окончания итерационного процесса .

5.  Составить программу вычисления корня уравнения по методу Ньютона, используя пакет MathCAD.

6.  Произвести вычисления по программе.

Варианты заданий к лабораторной работе.

№ варианта

f(x)

№ варианта

f(x)

1

16

2

17

3

18

4

19

5

20

6

21

7

22

8

23

9

24

10

25

11

26

12

27

13

28

14

29

15

30

4. Приложение.

Найти корень уравнения с точностью e = 0.0001.

·  Отделяем корень графически.

Рис. 3.2.

Легко видеть, что x > 0. Преобразуем уравнение к виду . Здесь , , j¢(x) < 0 для всех x ³ 0 и |j¢(x)| = || £ 0.1< 1. Значит, q = 0.1. В качестве нулевого приближения выберем x0 = 0.

Используя программу Interp(f, x0,eps), написанную с использованием пакета MathCAD 2000, нашли корень уравнения:

где f – исходная функция,

x0 – начальное приближение,

eps – погрешность.

Результат – вектор, по которому можно определить количество итераций, необходимых для определения приближённого значения с заданной точностью.