11.1.Комплексные числа. Последовательности, предел последовательности. Функции комплексного переменного, отображения. Предел и непрерывность функции комплексного переменного. Основные элементарные функции. Формула Эйлера.
11.2.Производная функции комплексного переменного. Условия Коши-Римана. Аналитичность функции. Гармонические функции. Понятие конформного отображения.
11.3.Интеграл функции комплексного переменного: определение, свойства, теорема Коши. Интегральная формула Коши. Теорема Морера. Теорема Лиувилля и основная теорема алгебры.
11.4.Функциональные ряды. Теорема Вейерштрасса. Степенные ряды. Теорема Абеля. Ряды Тейлора. Нули аналитической функции.
11.5.Ряды Лорана. Сходимость. Классификация особых точек. Вычеты и их вычисление. Основная теорема о вычетах. Приложения вычетов к вычислению интегралов, лемма Жордана.
11.6.Преобразование Лапласа и его свойства. Оригиналы и изображения. Основные теоремы операционного исчисления. Свёртка, интеграл Дюамеля. Связь преобразований Лапласа и Фурье.
11.7.Решение дифференциальных уравнений и систем операционным методом.
Модуль12.ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ СПЕЦИАЛЬНЫХ ФУНКЦИЙ.
16.1.Функции Эйлера.
16.2.Функции Бесселя.
16.3.Классические ортогональные многочлены.
Модуль 13.ТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ.
13.1.Пространство Элементарных исходов. Случайные события и операции над ними. Алгебра событий.
13.2.Классическое определение вероятности. Элементы комбинаторики. Гипергеометрические вероятности. Распределение частиц по ячейкам (статистика Максвелла-Больцмана, Бозе-Эйнштейна, Ферми-Дирака).
13.3.Аксиоматическое определение вероятности. Свойства вероятности, теорема сложения.
13.4.Геометрические вероятности. Понятие о методах Монте-Карло.
13.5.Условная вероятность. Независимость событий. Теорема умножения вероятностей.
13.6.Формулы полной вероятности и Байеса.
13.7.Схема Бернулли. Повторение независимых испытаний. Формула Бернулли. Приближённая формула Пуассона. Локальная и интегральная теоремы Муавра-Лапласа.
13.8. Случайные величины. Функция распределения и её свойства. Дискретная случайная величина, ряд распределения. Непрерывная случайная величина. Плотность распределения вероятностей и её свойства.
13.9. Основные распределения - дискретные и непрерывные. Нормальный закон распределения.
13.10. Функции случайных величин.
13.11.Числовые характеристики случайных величин. Математическое ожидание и его свойства. Дисперсия и её свойства. Мода, медиана, коэффициенты асимметрии и эксцесса.
13.12. Случайные векторы. Дискретные и непрерывные двумерные случайные величины. Двумерное нормальное распределение.
13.13. Коэффициент корреляции и его свойства. Числовые характеристики двумерной случайной величины.
13.14. Функции нескольких случайных величин. Закон распределения суммы случайных величин (теорема о свёртке). Композиция нормальных законов распределения.
13.15. Неравенство Чебышева. Закон больших чисел. Теоремы Бернулли, Чебышева, Маркова.
13.16. Центральная предельная теорема. Теорема Леви.
Модуль 14. МАТЕМАТИЧЕСКАЯ СТАТИСТИКА.
14.1. Основные задачи математической статистики. Выборка. Эмпирическая функция распределения. Теорема Гливенко. Выборочные моменты случайной величины.
14.2. Распределения c-квадрат и Стьюдента.
14.3.Точечные оценки неизвестных параметров распределения. Свойства оценок – несмещённость, состоятельность, эффективность, асимптотическая нормальность. Неравенство Рао-Крамера.
14.4. Метод моментов и метод максимального правдоподобия получения оценок.
14.5. Интервальные оценки. Построение доверительных интервалов для параметров нормального распределения.
14.6.Проверка статистических гипотез, основные понятия. Критерии Пирсона (χ-квадрат), Колмогорова, Мизеса.
14.7.Принцип Неймана-Пирсона проверки гипотез.
14.8. Линейная регрессия. Оценка коэффициента корреляции.
Модуль 15.ИНТЕГРАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ.
15.1.Понятие об интегральном уравнении. Классификация интегральных уравнений. Некоторые задачи математической физики и интегральные уравнения.
15.2.Теория Фредгольма решения интегральных уравнений.
15.3.Метод последовательных приближений решения интегральных уравнений.
15.4.Теорема Гильберта-Шмидта о представлении решения в виде ряда Фурье по собственным функциям ядра интегрального оператора.
Модуль16.НАЧАЛА ВАРИАЦИОННОГО ИСЧИСЛЕНИЯ.
16.1.Принцип наименьшего действия в физике и задачи вариационного исчисления.
16.2. Необходимое и достаточные условия экстремума функционала, задачи на условный экстремум, задачи с закрепленными границами и с подвижной границей.
Распределение тем по семестрам (лекции).
I семестр (51 час.)
1.ВВЕДЕНИЕ В МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ (14 часов).
2.ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ (14 часов).
3.НЕОПРЕДЕЛЁННЫЙ И ОПРЕДЕЛЁННЫЙ ИНТЕГРАЛЫ (23 часа).
II семестр (68 часов)
4.ФУНКЦИИ НЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХ (10 часов).
5. КРАТНЫЕ И КРИВОЛИНЕЙНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ (10 часов).
6.ТЕОРИЯ ПОЛЯ (14 часов).
7.ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ И СИСТЕМЫ (18 часов).
8.ИНТЕГРАЛЫ, ЗАВИСЯЩИЕ ОТ ПАРАМЕТРА (4 часа).
9.ЧИСЛОВЫЕ И ФУНКЦИОНАЛЬНЫЕ РЯДЫ (12 часов).
III семестр (68 часов)
10.ФУНКЦИОНАЛЬНЫЕ РЯДЫ (ПРОДОЛЖЕНИЕ) (4 ЧАСА).
11.РЯДЫ ФУРЬЕ. ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ФУРЬЕ (14 часов).
12.ТЕОРИЯ ФУНКЦИЙ КОМПЛЕКСНОГО ПЕРЕМЕННОГО (32 часов).
13.ОПЕРАЦИОННОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ (10 часов).
14.ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ СПЕЦИАЛЬНЫХ ФУНКЦИЙ (8 часов).
IY семестр (51 час)
13.ТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ (19 часов).
14.МАТЕМАТИЧЕСКАЯ СТАТИСТИКА (12 часов).
15.ИНТЕГРАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ (14 часов).
16.НАЧАЛА ВАРИАЦИОННОГО ИСЧИСЛЕНИЯ (6 часов).
V. ПРАКТИЧЕСКИЕ ЗАНЯТИЯ (ПРИМЕРНО)
I семестр (68 часов).
Функции и графики. Построение графиков элементарных функций в декартовой системе координат и в полярной системе координат (4 часа).
Предел последовательности (4 часа).
Предел функции. (4 часа).
Замечательные пределы (4 часа).
Сравнение б. м., вычисление пределов с помощью б. м. (4 часа).
Непрерывность функции, классификация точек разрыва (4 часа).
Контрольная работа по введению в анализ (2 часа).
Производные и дифференциал, техника дифференцирования (6 часов).
Задачи на применение производной, правило Лопиталя (4 часа).
Формула Тейлора (2 часа).
Исследование функций и построение графиков (6 часов).
Защита типового расчета по дифференциальному исчислению(2 часа).
Интегрирование по таблице, замена переменной и интегрирование по частям (4 часа).
Интегрирование рациональных дробей (2 часа).
Интегрирование тригонометрических выражений (2 часа).
Интегрирование некоторых иррациональных выражений (4 часа).
Определенный и несобственный интегралы. Приложения определенных интегралов (6 часов).
Контрольная работа по интегралам (2 часа).
Заключительное занятие(2 часа).
II семестр (68 часов)
Функции многих переменных. Область определения. Графики функций двух переменных. Поверхности второго порядка (4 часа).
Техника дифференцирования. Дифференциал и его применение (2 часа).
Формула Тейлора (2 часа).
Экстремумы, наибольшее и наименьшее значение функции в области (4 часов).
Скалярное поле. Градиент. Касательная плоскость и нормаль к поверхности (2 часа).
Контрольная работа №1 по функциям многих переменных (2 часа).
Двойной интеграл, замена переменных в двойном интеграле (4 часа).
Тройной интеграл, замена переменных в тройном интеграле (4 часа).
Приложения кратных интегралов (2 часа).
Защита типового расчёта по кратным интегралам (2 часа).
Криволинейные интегралы (4 часа).
Поверхностные интегралы (4 часа).
Формулы Грина, Остроградского, Стокса (4 часа).
Контрольная работа № 2 по теории поля (2 часа).
Дифференциальные уравнения 1-го порядка (4 часов).
Дифференциальные уравнения высших порядков допускающие понижения порядка (2 часа).
Линейные дифференциальные уравнения (2 часа).
Уравнения с постоянными коэффициентами (4 часа).
Системы дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами (2 часа).
Защита типового расчёта по теме »Дифференциальные уравнения» (2 часа).
Интегралы, зависящие от параметра (2 часа).
Числовые и функциональные ряды (8 часов).
III семестр (85 часов).
Разложение функции в ряд Фурье. Неполные ряды Фурье. Комплексная форма ряда Фурье (6 часа).
Защита типового расчёта (ряды Фурье) (2 часа).
Интеграл и преобразование Фурье (4 часа).
Применение преобразования Фурье к решению задач математической физики (4 часа).
Элементарные функции комплексного переменного. Условия Коши-Римана (4 часа).
Интеграл функции комплексного переменного (2 часа).
Интегральная формула Коши (2 часа).
Гармонические функции. Восстановление аналитической функции по её реальной части (2 часа).
Нули и особые точки аналитической функции. Разложение аналитических функций в ряды Тейлора и Лорана (8 часа).
Вычет аналитической функции в особой точке (4 часа).
Основная теорема Коши о вычетах (2 часа).
Применение вычетов к вычислению определённых интегралов (4 часа).
Многозначные аналитические функции и их однозначные ветви (2 часа).
Дробнолинейные и некоторые другие конформные отображения (6 часа).
Применение теории функций комплексного переменного к решению краевых задач математической физики (4 часа).
Контрольная работа по теории функций комплексного переменного (2 часа).
Преобразование Лапласа и его свойства. Нахождение изображений (4 часа).
Нахождение оригиналов по изображению с помощью свойств преобразования Лапласа и с помощью вычетов (4 часа).
Решение задачи Коши операционным методом (2 часа).
Применение интеграла Дюамеля (2 часа).
Гамма - и бета - функции и их свойства (2 часа).
Функции Бесселя и дифференциальные уравнения (2 часа).
Классические ортогональные многочлены (2 часа).
Обзор аттестационных материалов (3 часа).
IY семестр (51 час).
События, операции над событиями. Классическое определение вероятности (2 часа).
Комбинаторика (2 часа).
Геометрические вероятности (2 часа).
Условная вероятность. Теорема умножения вероятностей. Независимые события. Теорема сложения вероятностей (4 часа).
Формулы полной вероятности и Байеса (2 часа).
|
Из за большого объема этот материал размещен на нескольких страницах:
1 2 3 4 |
