1. ТРЕБОВАНИЯ ГОС К ОБЯЗАТЕЛЬНОМУ МИНИМУМУ СОДЕРЖАНИЯ ОСНОВНОЙ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЙ ПРОГРАММЫ БАКАЛАВРА ПО НАПРАВЛЕНИЮ 510400 ФИЗИКА (РАЗДЕЛ МАТЕМАТИКА)
ЕН. Ф.03 | Математика. |
Математический анализ. Предмет математики. Физические явления как источник математических понятий. Пределы и непрерывность функции. Производная функции. Основные теоремы о непрерывных и дифференцируемых функциях. Исследование поведения функций и построение их графиков. Неопределенный и определенный интегралы. Функции нескольких переменных. Геометрические приложения дифференциального исчисления. Кратные интегралы. Криволинейные и поверхностные интегралы. Ряды. Несобственные интегралы, интегралы, зависящие от параметра. Ряд и интеграл Фурье. Элементы теории обобщенных функций. Векторный и тензорный анализ. Тензоры и операции над ними. Скалярное и векторное поле. Основные операции векторного анализа. Формулы Грина, Гаусса-Остроградского, Стокса. Элементы теории групп. Теория функций комплексного переменного. Комплексные числа. Аналитические функции и их свойства. Интеграл по комплексной переменной. Интеграл Коши. Ряды аналитических функций. Основные понятия теории конформных отображений. Преобразование Лапласа. Дифференциальные уравнения. Понятие обыкновенного дифференциального уравнения. Уравнения первого порядка. Уравнения высших порядков. Системы обыкновенных дифференциальных уравнений. Теория устойчивости. Краевые задачи для линейных уравнений второго порядка. Численные методы решения дифференциальных уравнений. Уравнения в частных производных первого порядка.. Интегральные уравнения и вариационное исчисление. Линейные операторы в гильбертовом пространстве. Однородное и неоднородное уравнения Фредгольма второго рода. Задача Штурма-Лиувилля. Принцип сжатых отображений. Уравнение Вольтерра. Понятие о корректно и некорректно поставленных задачах. Необходимое и достаточные условия экстремума функционала, задачи на условный экстремум, задачи с закрепленными границами и с подвижной границей. Теория вероятностей и математическая статистика. Основные понятия теории вероятностей. Аксиоматическое определение вероятности. Условная вероятность и независимость. Последовательность независимых испытаний. Случайные величины и их характеристики. Законы больших чисел. Характеристическая функция. Центральные предельные теоремы. Конечные однородные цепи Маркова. Случайные процессы. Распределения Гаусса, Пирсона, Фишера, Стъюдента. Интервальные и точечные оценки. Задача проверки статистических гипотез. Метод максимального правдоподобия. Регрессионный анализ. Статистический анализ модели и статистические задачи решения. |
2. ТРЕБОВАНИЯ К УРОВНЮ ПОДГОТОВКИ ВЫПУСКНИКА ПО НАПРАВЛЕНИЮ 510400 - ФИЗИКА
Выпускник должен уметь решать задачи, соответствующие его степени, которая обеспечивает выполнение должностных обязанностей в соответствии с квалификационными характеристиками.
Бакалавр должен знать и уметь использовать в объеме, предусмотренным настоящем стандартом, по математическим дисциплинам
- математический анализ, теорию функций комплексной переменной, аналитическую геометрию, векторный и тензорный анализ, дифференциальные и интегральные уравнения, вариационное исчисление, теорию вероятностей и математическую статистику.
3. СТРУКТУРА И СОДЕРЖАНИЕ КУРСА.
Лекции - 238 часов.
Практические занятия -255 часов.
Самостоятельная работа - 325(287) час.
Итого - 818(780) часов.
СОДЕРЖАНИЕ курса определяется, в основном, разделами математики, представленными ГОСом. (Требования к обязательному минимуму содержания основной образовательной программы бакалавра по направлению 510400 физика ).
Курс имеет модульную структуру. Модули изучаются в хронологическом порядке, и логических кругов при этом не возникает.
Параллельно с изучением тем модулей 1-3 студент слушает курс линейной алгебры и аналитической геометрии, а результаты этого курса начинает по существу использовать только при прохождении тем 4 –го модуля.
СОДЕРЖАНИЕ КУРСА.
Модуль 1. ВВЕДЕНИЕ В МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ.
1.1.Множество вещественных чисел. Функции. Элементарные функции, свойства, графики.
1.2.Числовые последовательности. Предел числовой последовательности. Существование предела ограниченной монотонной последовательности (теорема Вейерштрасса).
1.3.Сложные, обратные функции.
1.4.Предел функции в точке, на бесконечности. Односторонние пределы. Бесконечно малые в точке, сравнение бесконечно малых. Замечательные пределы.
1.5.Непрерывные функции. Непрерывность элементарных функций. Свойства функций, непрерывных на отрезке.
Модуль 2. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ.
2.1.Определение производной функции. Геометрический смысл. Свойства производной. Дифференциал, его свойства и приложения.
2.2.Производная сложной и обратной функций. Дифференцирование функций, заданных параметрически.
2.3.Теоремы Ферма, Лагранжа, Ролля, Коши.
2.4.Производные и дифференциалы высших порядков.
2.5.Правило Лопиталя.
2.6.Формула Тейлора с остаточным членом в форме Лагранжа и в форме Пеано.
Представление элементарных функций по формуле Тейлора.
2.7.Исследование функций и построение графиков: монотонность, экстремумы, выпуклость, вогнутость, перегибы, асимптоты. Общая схема исследования функции. Наибольшее и наименьшее значения функции на отрезке.
2.8.Элементы дифференциальной геометрии.
Модуль 3.НЕОПРЕДЕЛЁННЫЙ И ОПРЕДЕЛЁННЫЙ ИНТЕГРАЛЫ.
3.1.Первообразная и неопределённый интеграл. Методы интегрирования. Применение таблиц интегралов.
3.2.Определённый интеграл и связанные с ним задачи. Свойства.
3.3.Формула Ньютона-Лейбница и её следствия.
3.4.Формулы Симпсона для приближённого вычисления интегралов.
3.5.Несобственные интегралы от неограниченных функций, интегралы с бесконечными пределами.
3.6.Приложения определённого интеграла.
Модуль 4. ФУНКЦИИ НЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХ.
4.1.Функции нескольких переменных: определение, предел, непрерывность.
4.2.Частные производные, дифференциал. Дифференцируемость функции нескольких переменных. Производная по направлению. Касательная плоскость и нормаль к поверхности. Частные производные и дифференциалы высших порядков. Формула Тейлора.
4.3.Неявные функции. Теорема существования и дифференцирования неявной функции.
4.4.Экстремум функции нескольких переменных. Необходимое, достаточное условия экстремума. Метод наименьших квадратов.
4.5.Условный экстремум. Метод множителей Лагранжа.
Модуль 5. КРАТНЫЕ И КРИВОЛИНЕЙНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ.
5.1.Общая схема построения интеграла. Задачи, приводящие к понятиям кратных и криволинейных интегралов.
5.2.Двойной и тройной интегралы, их свойства. Вычисление кратных интегралов. Криволинейные интегралы и замена переменных в кратных интегралах.
5.3.Площадь поверхности. Поверхностные интегралы: свойства, вычисление.
5.4.Криволинейные интегралы: свойства, вычисление. Условие независимости интеграла от пути.
5.5.Теоремы Грина, Остроградского и Стокса.
Модуль 6.ТЕОРИЯ ПОЛЯ.
6.1.Скалярное поле. Поверхности уровня, градиент. Векторные поля. Векторные линии, их дифференциальные уравнения.
6.2.Дивергенция. циркуляция, ротор: определения, свойства, физический смысл. Вычисление в декартовой системе координат.
6.3.Теоремы Остроградского и Стокса в векторной форме.
6.4.Соленоидальное, потенциальное и гармонические поля. Определение, физический смысл, Нахождение потенциала поля.
6.5.Операторы Гамильтона и Лапласа в криволинейной системе координат.
6.6.Задача о разложении произвольного векторного поля на соленоидальную и потенциальную составляющие и обратная задача о восстановлении поля по заданным ротору и дивергенции.
Модуль 7.ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ И СИСТЕМЫ.
7.1.Задачи, приводящие к дифференциальным уравнениям. Задача Коши. Теорема существования и единственности решения задачи Коши. Основные типы уравнений 1-го порядка, интегрируемые в квадратурах.
7.2.Дифференциальные уравнения высших порядков. Задача Коши. Уравнения, допускающие понижение порядка.
7.3.Линейные дифференциальные уравнения, однородные и неоднородные. Теоремы о структуре общего решения.
7.4.Линейные дифференциальные уравнения с постоянными коэффициентами. Уравнения со специальной правой частью. Приложения.
7.5.Нормальная система дифференциальных уравнений. Задача Коши. Геометрический смысл решения нормальной системы. Метод исключения для решения нормальной системы.
7.6.Системы линейных дифференциальных уравнений, свойства решений. Решение систем линейных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами.
Модуль 8.ИНТЕГРАЛЫ, ЗАВИСЯЩИЕ ОТ ПАРАМЕТРА.
8.1.Интегралы, зависящие от параметра. Непрерывность, дифференцирование и интегрирование по параметру.
8.2.Несобственные интегралы, зависящие от параметра. Гамма - и бета - функции.
Модуль 9.ЧИСЛОВЫЕ И ФУНКЦИОНАЛЬНЫЕ РЯДЫ.
9.1.Числовые ряды. Сходимость и сумма ряда. Необходимое условие сходимости ряда. Действия с рядами. Методы исследования сходимости рядов. Абсолютная и условная сходимости знакопеременных рядов.
9.2.Функциональные ряды. Равномерная сходимость. Связь рядов с функциональными последовательностями. Функциональные свойства суммы ряда.
9.3.Степенные ряды. Теорема Абеля. Область сходимости степенного ряда, разложение функций в степенные ряды. Ряд Тейлора, различные формулы остаточного члена. Приложения степенных рядов.
Модуль 10.РЯДЫ ФУРЬЕ. ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ФУРЬЕ.
10.1.Тригонометрический ряд Фурье периодической функции. Разложение функций в тригонометрический ряд Фурье. Ряд Фурье в комплексной форме. Порядок убывания коэффициентов ряда Фурье.
10.2.Равномерное и среднеквадратичное приближения функций. Ортонормированные системы функций. Минимум среднеквадратичного отклонения. Неравенство Бесселя, равенство Парсеваля. Общие ряды Фурье. Теорема Рисса-Фишера.
10.3.Интеграл Фурье, преобразование Фурье. Теорема Фурье. Дельта-функция и её преобразование Фурье.
Модуль 11.ТЕОРИЯ ФУНКЦИЙ КОМПЛЕКСНОГО ПЕРЕМЕННОГО. ОПЕРАЦИОННОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ.
|
Из за большого объема этот материал размещен на нескольких страницах:
1 2 3 4 |
