Программа госэкзамена по математике и информатике для магистров
Направление 010400.68 «Прикладная математика и информатика»,
магистерская программа «Математическое моделирование оптических наноструктур»
Метод Гаусса. Схема единственного деления. QR-разложение матрицы. Метод ортогонализации. Число обусловленности матрицы, основные свойства. Метод простой итерации. Условия сходимости. Скорость сходимости. Оценка погрешности. Системы с прямоугольными матрицами. Метод наименьших квадратов. Системы с прямоугольными матрицами. Псевдорешения системы. Нормальная система. Метод вращений в проблеме собственных значений. Число обусловленности матрицы, основные свойства. Метод простой итерации для нелинейных систем. Теоремы о сходимости. Условие сжатия на основе матрицы Якоби. Задача интерполирования в классе обобщенных многочленов. Интерполирующий базис. Задача алгебраического интерполирования. Многочлен Лагранжа. Погрешность интерполирования. Задача алгебраического интерполирования. Многочлен Ньютона. Погрешность. Сплайн-интерполирование. Кубический сплайн. Задача наилучшего приближения. Метод наименьших квадратов. Задача численного интегрирования. Интерполяционная квадратурная формула. Квадратурные формулы прямоугольников. Оценки погрешности. Квадратурные формулы трапеций. Оценки погрешности. Квадратурные формулы Симпсона. Оценки погрешности. Численное дифференцирование. Разностная аппроксимация дифференциальных операторов. Задача Коши. Метод Эйлера. Задача Коши. Методы Рунге-Кутта четвертого порядка. Линейная краевая задача для системы уравнений. Метод прогонки. Линейная краевая задача для уравнения второго порядка. Разностная аппроксимация. Линейная краевая задача для уравнения второго порядка. Метод Ритца. Классификация уравнений в частных производных второго порядка. Общая схема метода разделения переменных. Классические ортогональные полиномы. Дифференциальные уравнения. Полиномы Лежандра. Присоединенные функции Лежандра. Полиномы Лагерра. Полиномы Эрмита. Сферические и шаровые функции. Краевые задачи для уравнения Лапласа Уравнения параболического типа. Уравнения гиперболического типа. Задача Штурма-Лиувилля для оператора Лапласа. Собственные функции оператора Лапласа для простейших канонических областей. Основные понятия теории разностных схем. Необходимые и достаточные условия экстремума первого и второго порядка. Методы деления отрезка пополам, золотого сечения и Фибоначчи для поиска минимума одномерной функции. Метод деформируемого многогранника – Нелдера-Мида - для поиска минимума многомерной функции. Метод покоординатного спуска для поиска минимума многомерной функции. Метод градиентного спуска для поиска минимума многомерной функции. Метод наискорейшего спуска для поиска минимума многомерной функции. Метод Ньютона для поиска минимума многомерной функции. Метод штрафных функций для решения задач условной оптимизации. Метод проекции градиента.
