Дифференциальные уравнения (стр. 2 )

Пример 4. Найти общие решения дифференциальных уравнений:

1); 2) .

1) Функция в правой части уравнения – однородная. Подстановка: . Уравнение после подстановки становится уравнением с разделяющимися переменными. Делим переменные и интегрируем: . В найденном решении const подставлена под знаком логарифма для удобства дальнейших преобразований, что можно сделать только на первом этапе нахождения первообразных. Тогда преобразуем полученный результат, используя свойства логарифмов: и получаем общее решение.

2) Функция является однородной 0-го измерения, так как , поэтому данное уравнение – однородное. Сведем его к уравнению с разделяющимися переменными подстановкой: и получим: - уравнение с разделяющимися переменными. Разделим переменные и проинтегрируем: . Вычисляем неопределенные интегралы: , заметив, что . Первый интеграл в правой части вычисляем как интеграл от степенной функции, во втором вынесем знак “–“ и получим табличный интеграл. Решение уравнения в неявном виде имеет вид: , где . Подставим значение Р в полученное решение: . Общее решение дифференциального уравнения: .

Заметим, что для успешного решения дифференциального уравнения, необходимо верно определить тип уравнения, что бы правильно выбрать подстановку, всякий раз приводящую его к уравнению с разделяющимися переменными, и достаточно хорошо уметь вычислять неопределенные интегралы: пользоваться таблицей (приведенной в материалах первого семестра) и знать методы интегрирования.

Линейные дифференциальные уравнения.

Вид линейного дифференциального уравнения: у΄ + f (x) у = φ(х), если f(x) непрерывная функция, а φ(х) ≠ 0. При φ(х) = 0 уравнение становится уравнением с разделяющимися переменными.

Общее решение линейного дифференциального уравнения можно найти двумя методами:

·  методом подстановки (метод Бернулли);

·  методом вариации произвольного постоянного (метод Лагранжа).

Метод Бернулли (метод подстановки) состоит в том, что решение уравнения ищется в виде произведения двух вспомогательных функций: у(х) = U(x)V(x), где U(x)) ≠ 0 и V(x) ≠ 0. Тогда в уравнение необходимо подставить функцию у(х) и её производную: y΄(x) = U΄(x)V(x) + U(x)V΄(x). После подстановки получим уравнение U΄(x)V(x) + U(x)V΄(x) + f (x) U(x)V(x) = φ(х), которое можно сгруппировать 1) U΄(x)V(x) + U(x)(V΄(x) + f (x)V(x)) = φ(х) или

2) U(x)V΄(x) + V(x)( U΄(x) + f (x) U(x)) = φ(х) , что позволит решая два дифференциальных уравнения с разделяющимися переменными, найти обе вспомогательные функции U(x) ≠ 0 и V(x) ≠ 0.

Будем искать функцию V(x) из 1), полагая, что V΄(x) + f (x)V(x)= 0, а это уравнение с разделяющимися переменными:

, откуда . При нахождении первой из вспомогательных функций с помощью неопределенного интеграла const опускают, потому что общее решение уравнения первого порядка имеет одну const и она будет записана при поиске второй вспомогательной функции.

Функцию U(x) найдем из 1), решая еще одно уравнение с разделяющимися переменными: U΄(x)V(x) = φ(х), так как второе слагаемое в 1) равно нулю.

Разделим переменные , тогда, проинтегрировав обе части равенства, найдем с точностью до const функцию . Общее решение искали в виде произведения вспомогательных функций у(х) = U(x)V(x), поэтому .

Заметим, что полученное решение не следует считать формулой в силу её громоздкости. При решении линейных уравнений следует пользоваться рассмотренным методом решения.

Пример 5. Найти общие решения дифференциальных уравнений:

1) у΄ - уthx = ch2x; 2) .

Уравнение 1) – линейное. Решаем методом подстановки: общее решение ищем в виде у(х) = U(x)V(x) (метод Бернулли). В уравнение подставляем функцию у(х) и её производную: y΄(x) = U΄(x)V(x) + U(x)V΄(x) Þ

U΄(x)V(x) + U(x)V΄(x) – U(x)V(x)thx = ch2 x.

Группируем и, решая два уравнения с разделяющимися переменными, находим обе вспомогательные функции U(x) и V(x), произведение которых и есть общее решение дифференциального уравнения.

U΄(x)V(x) + U(x)(V΄(x) – V(x)thx) =ch2 x Þ В дальнейших записях и выкладках аргументы функций U(x) и V(x) опустим для прозрачности записи уравнений, но не забудем, что функции U и V зависят от х.

Þ

И общее решение: уоб =chx(shx+c).

Уравнение 2) – по внешнему виду не является линейным, но если его рассмотреть в виде: Þ . В общем виде: x΄ + f(y)x = φ(y) – это линейное уравнение относительно искомой функции х = х(у) от независимой переменной у (см. таблицу). Тогда общее решение будем искать подстановкой: