Дифференциальные уравнения (стр. 4 )

И, наконец, общее решение дифференциального уравнения Бернулли: .

Дифференциальные уравнения высших порядков, допускающие понижения порядка.

Дифференциальные уравнения вторых порядков, допускающие понижения порядка сведены в таблицу. Общее решение имеет вид Уоб = φ(x, c1,c2).

№	Вид уравнения	Метод решения
1	у˝ = f(x)	Два раза интегрировать
2	у˝ = f(x, y΄) – функция не содержит у	Подстановка у΄ = P(x), y˝ = P΄(x)
3	у˝ = f(y, y΄)– функция не содержит х	Подстановка у΄ =P(y), y˝ = P΄(y)y΄(x) = P΄P

Пример 8. Найти общие решения дифференциальных уравнений:

1) у˝ = sinx; 2) , найти частное решение при начальных

условиях: у(1)=1, у΄(1)= - 3) 2yy˝ +( y΄)2 = 0

Уравнение 1) – уравнение второго порядка, разрешенное относительно второй производной, функция справа зависит только от х. Решение найдем дважды проинтегрировав:.

Уравнение 2) – уравнение второго порядка, разрешенное относительно второй производной (таблица № 2). Подставим в уравнение у΄ = P(x), y˝ = P΄(x): - линейное дифференциальное уравнение 1-го порядка. Решим методом вариации произвольного постоянного.

1 этап. Решаем однородное уравнение, отбросив правую часть уравнения.

- уравнение с разделяющимися переменными. Разделим переменные и проинтегрируем:

lnP = - lnx + lnc = ln Þ Решение однородного уравнения: .

2 этап. Запишем общее решение , найдем его производную и подставим в исходное уравнение: . Тогда Но у΄ = P(x), то есть

Общее решение уравнения – . Найдем частное решение при начальных условиях: у(1)=1, у΄(1)= - . Для этого найдем и, подставив начальные условия в общее решение и его производную, получим систему двух алгебраических уравнений относительно искомых констант с2 и с2.

. Подставляем начальные значения

и записываем частное решение; .

Уравнение 3) – уравнение второго порядка, не содержащее независимой переменной х (таблица № 3). Подставим в уравнение у΄ = P(y), y˝ = P΄(у)P(у):

2yP΄(у)P(у) + (P(y))2 = 0. Опустим аргументы, преобразуем полученное уравнение первого порядка, чтобы определить его тип и выбрать метод решения:

2yP΄P = - P2 Þ 2yP΄ = - P – уравнение с разделяющимися переменными. Делим переменные и интегрируем, не забывая, что у = у(х), Р = Р(у): . Из подстановки у΄ = P(y) записываем второе дифференциальное уравнение первого порядка, чтобы найти общее решение уравнения: . Полученное уравнение – уравнение с разделяющимися переменными, поэтому делим переменные и интегрируем: - общее решение в неявном виде (общий интеграл). Можно разрешить полученное решение относительно у: - общее решение дифференциальное уравнение второго порядка.

Дифференциальные уравнения высших порядков, допускающие понижения порядка сведены в таблицу. Общее решение имеет вид Уоб = φ(x,c1,c2,…..,сn).

№	Вид уравнения	Метод решения
1	у˝ = f(x)	n раз интегрировать
2	у˝ = f(x, y(r),…,y(n) ) – функция не содержит у	Подстановка у(r) = P(x), y(r+1) = P΄(x),…
3	у˝ = f(y, y΄,…,y(n))– функция не содержит х	Подстановка у΄ =P(y), y˝ = P΄(y)y΄(x) = P΄P, y˝΄=P˝(y)y΄P+P΄(y)P΄(y)y΄=P˝P2+P΄2P и т. д.

Пример 9. Найти общее решение дифференциального уравнения: .

Заданное уравнение – уравнение третьего порядка, не содержит у. Подстановка для понижения порядка: у˝ = Р(х), у˝΄= Р΄(х). После подстановки, получим - уравнение первого порядка с разделяющимися переменными.

Разделим переменные и проинтегрируем: . Из у˝ = Р(х) имеем у˝ = с1х.

Уравнение второго порядка, справа функция зависит только от х, поэтому решение два раза интегрируем, чтобы найти у = у(х): Общее решение уравнения третьего порядка имеет три константы: .