хоб. р = U(у)V(у) и х΄(у) = U΄(у)V(у) + U(у)V΄(у) Þ далее опустим аргументы функций U(у) и V(у), но не забудем, что функции U и V зависят от у и . Подставим функцию х её производную х΄ в в уравнение:

U΄V + UV΄ + UV = 2lny+1 Þ и сгруппируем для вычисления функций U и V

U΄V + U(V΄ + V) = 2lny+1. Ищем функции U и V:

Найдем U = U(x) из второго уравнения:

.

Вычислим интеграл (первое слагаемое) этого равенства по частям:

. Подставим в значение функции

Þ U = y2lny + c.

Тогда Þ общее решение: .

Метод вариации произвольного постоянного (метод Лагранжа).

Метод состоит в том, что на первом этапе решается однородное уравнение по заданному линейному уравнению у΄ + f (x) у = φ(х), то есть без правой части:

1)  у΄ + f (x) у = 0 и находится его решение (уравнение с разделяющимися переменными): уод = f(x, c).

2)  На втором этапе решения записываем по внешнему виду решения однородного уравнения общее решение, в котором полагаем неопределенную const зависящей от х ( c = c(х)): уоб = f(x, c(х)). Подставив это решение в исходное уравнение, находим c(х) и подставив ее в уоб имеем решение дифференциального уравнения.

Пример 6. Найти общее решение дифференциального уравнения .

Уравнение – линейное. Решаем методом вариации произвольного постоянного.

1 этап. Решаем уравнение без правой части: . Делим переменные и интегрируем: Записываем решение однородного уравнения, соответствующего заданному неоднородному линейному дифференциальному уравнению: .

2 этап. Записываем по внешнему виду решения однородного уравнения общее решение: и подставляем его в заданное уравнение с правой частью, которое обращается в тождество. Для этого необходимо найти . Подставляем уоб и у΄об в уравнение, опустив аргумент переменной с(х):

НЕ нашли? Не то? Что вы ищете?

, с – const. Запишем окончательный ответ, подставив в найденную c(х): .

Заметим, что общее решение состоит из суммы общего и частного решений:, где , . Частное решение зависит только от функции, стоящей в правой части линейного уравнения.

Замечания. 1) Данный метод имеет преимущество перед методом Лагранжа, так как позволяет при изменение функции в правой части уравнения, находить общее решение, выполнив только второй этап решения (однородное уравнение и его решение остаются теми же).

2) Уравнение Бернулли у΄ + f (x) у = φ(х)xm (1) может быть сведено подстановкой z(x) = y1-m к линейному уравнению, относительно функции z = z(x).

Действительно, найдем (2). Преобразуем заданное уравнение (1), поделив обе его части на уm: (3). Из уравнения (2) получим и подставим в уравнение (3): и :

. Полученное уравнение – линейное и может быть решено любым из рассмотренных методов: подстановкой или методом вариации произвольного постоянного. Но (!) данное уравнение можно решать методом Бернулли (подстановкой у(х) = U(x)V(x)) не сводя его к линейному.

Пример 7. Найти общее решение дифференциального уравнения y΄+ xy = x3y3.

Заданное уравнение – уравнение Бернулли. Решаем методом Бернулли

( подстановка у(х) = U(x)V(x) и y΄(x) = U΄(x)V(x) + U(x)V΄(x)):

U΄(x)V(x) + U(x)V΄(x)+ х U(x)V(x) = х3 U3(x)V3(x), группируем

U΄(x)V(x) + U(x)(V΄(x)+ х V(x)) = х3

U3(x)V3(x) и решаем два уравнения с разделяющимися переменными.

Вычислим интеграл (далее этот интеграл нужно вычислять по частям: t=u, dt = du; e-tdt = dv, v = -e-t → (заменим t=x2, const при первом ее появлении в уравнении можно записывать в любом удобном для дальнейших преобразований виде)) = . Тогда

Из за большого объема этот материал размещен на нескольких страницах:
1 2 3 4