Дифференциальные уравнения (стр. 1 )

Дифференциальные уравнения

1)  Основные понятия и определения

2)  Общее и частное решения дифференциального уравнения

3)  Дифференциальные уравнения первого порядка

4)  Дифференциальные уравнения высших порядков, допускающие понижения порядка

Дифференциальное уравнение первого порядка – это уравнение вида

f (x,y,y΄)=0

Общее решение: у = у(х, с), где с – const (геометрически, это семейство первообразных).

Частное решение (задача Коши) – это решение при вычисленной сonst (с) по заданным начальным условиям: у(х0) = у0 (геометрически, это единственная кривая семейства первообразных, проходящая через заданную точку).

Пример 1. Найти общее решения дифференциального уравнения: у΄ = 1 и частное при начальных условиях: у(1) = 2.

Запишем у΄ = и подставим в уравнение: или dy = dx . Этот

 

прием называется “разделить переменные”. Далее интегрируем

 

и имеем – общее решение:

Геометрически это – семейство прямых, смещенных по оси оу на const (с). Так как у(1) = 2, то есть х0 = 1, у0 = 2, то, подставив их в общее решение: 2 = 1 + с, находим с = 1. Частное решение данного уравнения имеет вид: уч. р = х + 1. Геометрически это обозначает, что из семейства первообразных выбрана единственная прямая, проходящая через точку А с координатами А(1; 2)

Порядок уравнения определяется порядком старшей производной, присутствующей в уравнении:

f (x,y,y΄,у˝) = 0 – уравнение 2-го порядка;

f (x,y,y΄,у˝, у΄΄΄ ) = 0 – уравнение 3-го порядка;

f (x, у΄΄΄ ) = 0 или y˝΄(x) = f(x) – уравнения 3-го порядка, заданные соответственно неявно или явно;

f (x,y,y΄,у˝,……, у(n) ) или y(n)(x) = f(x) – уравнения n-го порядка.

Общее решение уравнения n-го порядка:

у = у(х; с1; с2;……,сn), где сi (i Î [1, n]) – неопределенные константы.

Частное решение (задача Коши) для уравнения n-го порядка – это решение при вычисленных сonst (сi) по заданным начальным условиям, количество которых равно порядку уравнения:

у(х0) = у0; у΄(х0) = у΄0; у˝(х0) = у˝0;……, у(n-1)(х0) = .

Дифференциальные уравнения первого порядка

Типы дифференциальных уравнений и методы их решения сведем в таблицу.

Название	Вид уравнения	Метод решения
С разделяющимися переменными	у΄= f (x) g (у)= f (x) g (у)dx = dy Þ	Проинтегрировать, разделив переменные f(x)dx =
Однородные	у΄= f (x,у) или у΄=	Подстановка у = Р(х)×х и ее производная у΄ = Р΄х + Р приведут к уравнению с разделяющимися переменными
Линейные	у΄ + f (x) у = φ(х) Иногда удается найти решение х = х(у, с), если его можно представить: х΄ + f (у) х = φ(у) Þ	Подстановка уоб. р = u(x)v(x) и ее производная у΄ = u΄v + v΄u приведут к двум уравнениям с разделяющимися переменными, при решении которых будут найдены обе вспомогательные функции: u(x) ≠ 0 и v(x) ≠ 0. хоб. р = u(у)v(у)
Бернулли (частный случай линейного уравнения)	у΄ + f (x) у = φ(х)xm	Подстановка у = u(x)v(x) и ее производная у΄ = u΄v + v΄u приведет к 2 уравнениям с разделяющимися переменными

С другими типами дифференциальных уравнений первого порядка и методами их решения можно познакомиться в математической литературе.

Пример 2. Найти общее решение дифференциального уравнения: у΄ = x(y2 + 1).

Запишем и подставим в уравнение: . Данное уравнение с разделяющимися переменными, так как справа произведение функций, каждая из которых зависит от одной переменной х или у. Разделим переменные: и проинтегрируем: . Оба интеграла табличные, записываем первообразные (const достаточно записать один раз): .

Общее решение, записанное в неявном виде, как в данном случае, называют общим интегралом дифференциального уравнения. Разрешим уравнение относительно у и получим общее решение уравнения: .

Однородные уравнения: или в правой части уравнения имеют однородную функцию.

Функция y = f(x, y) называется однородной функцией n-го измерения, если f(tx,t y) = tn f(x, y).

Пример 3. Проверить, являются ли функции: 1) f(x, y) = x3 +3xy2, 2) однородными. Если функция однородная, то какого измерения.

Вычислим функции в f(tx,t y).

1) Так как f(tx ,ty) = t3× x3 + 3tx× t2× y2 = t3(x3+3xy2), то функция является однородной 3-го измерения.

2) Функция однородная нулевого измерения, так как n=0.

Свойства однородных функций:

ü  сумма однородных функций, одного измерения – однородная функция того же измерения;

ü  произведение однородных функций – однородная функция, измерение которой равно сумме измерений, перемножаемых функций;

ü  частное однородных функций – однородная функция, измерение которой равно разности измерений делимого и делителя.

Покажем, что однородное дифференциальное уравнение подстановкой у = Р(х)х сводится к уравнению с разделяющимися переменными. Положим , тогда для f(t x, t y) = f(x, y) будем иметь - однородную функцию.

Введем неизвестную функцию Р(х) и будем искать решение однородного уравнения в виде у = Р(х)х, где . Подставим данную функцию и ее производную: у΄ = Р΄(х)х + Р(х) в уравнение, опустив аргумент функции Р(х), : – уравнение с разделяющимися переменными. Разделим переменные и проинтегрируем - это общий интеграл дифференциального уравнения. Вычислим интегралы: ln(x) = Ф(Р) + с и заменим : ln(x) = Ф() + с – решение дифференциального уравнения в неявном виде.