Определители. Метод Крамера для решения систем линейных алгебраических уравнений (ЛАУ)

2. Определители. Метод Крамера для решения систем линейных алгебраических уравнений (ЛАУ).

2.1. Пусть дана квадратная таблица чисел

, т. е. матрица из двух строк и двух столбцов.

Заметим сразу, что двойной нижний индекс у каждого элемента очень удобен для отыскания места элемента в таблице, т. к. первый нижний индекс указывает номер строки, а второй - номер столбца.

Определителем (детерминантом) II порядка называется число a11a22 - a21a12,

которое обозначается символом .

Т. о. = a11a22 - a21a12.

Элементы определителя a11 и a22 стоят на главной диагонали, а a12 и a21 - на побочной.

Определителем (детерминантом) III порядка называется число, обозначаемое

. Правило вычисления этого числа легко запомнить как

«правило треугольников»:

= a11a22a33 + a21a32a13 + a12a23a31 - a13a22a31 - a11a32a23 - a33a12a21.

Пример 1. Вычислить:

1) ; 2) .

Решение. 1) = -7×5-(-2)×3 = -35 + 6 = -29.

2) = (-2)×5×(-4) + (-3)×3×2 + 0 -(-3)×5×(-1) - 1×3×(-4) - 0 = 40-18-15+12 = 19.

2.2. Определитель n-ого порядка равен сумме произведений элементов какой-либо строки (столбца) на их алгебраические дополнения, т. е.

= a11×A11 + a12×A12 + … + a1n×A1n (сделано разложение по первой строке).

Алгебраическим дополнением элемента aij (i = 1,2,…, n; j = 1,2,…,n) называется

Aij = (-1)i+j × Mij.

Минор Mij - определитель, полученный из исходного вычеркиванием i-ой строки и j-ого столбца.

Заметим, что этот способ является универсальным для вычисления определителя любого порядка, а при n=2 и n=3 дает те же расчетные формулы, что и были приведены в 2.1.

Пример 2. Вычислить разложением a) по I строке; b) по III столбцу.

Решение. a) = a11×A11 + a12×A12 + a13×A13 = (-2)×(-1)1+1×M11 + 1×(-1)1+2×M12 +(-3)×(-1)1+3×M13 = (-2)×(-1)2× + (-1)3× + (-3)×(-1)4× = -2(-20) -(-12) -3(6+5) = 40+12-33 = 19.

b) = a13×A13 + a23×A23+ a33×A33 = (-3)×(-1)1+3×M13+ 0 +(-4)×(-1)3+3×M33 = (-3)×(-1)4× + (-4)×(-1)6× = -3(6+5)-4(-10-3) = -33+52 = 19.

Легко заметить, что для разложения нужно выбирать строку либо столбец с наибольшим количеством нулей.

2.3. Свойства определителей.

1)  Величина определителя не изменится, если все его строки заменить на столбцы с тем же номером (операция транспонирования).

2)  Перестановка двух строк (столбцов) определителя равносильна умножению его на -1.

3)  Определитель с двумя одинаковыми строками (столбцами) равен 0.

4)  Умножение всех элементов одной строки (столбца) на любое число k равносильно умножению определителя на это число k .

5)  Если все элементы некоторой строки (столбца) равны 0, то и сам определитель равен 0.

6)  Если соответствующие элементы двух строк (столбцов) определителя пропорциональны, то определитель равен 0.

7)  Если каждый элемент некоторой строки (столбца) определителя представляет собой сумму двух слагаемых, то определитель может быть представлен в виде суммы двух определителей.

8)  Величина определителя не изменится, если к элементам некоторой строки (столбца) прибавить соответствующие элементы другой строки (столбца), умноженные на любой общий множитель.

Пример 3. Вычислить определитель , используя свойства определителей.

Решение. Способ I.

= ( по свойству 8 к элементам III строки прибавим соответствующие элементы I строки, умноженные на (-1); a к элементам IV строки прибавим соответствующие элементы II строки)

= = ( по свойству 8 к элементам III столбца прибавим соответствующие элементы II столбца)

= = (сделаем разложение по I строке)

= 2+ = (по свойству 4 вынесем общий множитель k =2 из III строки первого определителя, а во втором определителе по свойству 8 к элементам II столбца прибавим соответствующие элементы I столбца, умноженные на (-1))

= 2×2+ = 4(9+1-15) + (-7+27) = -20+20 = 0.

Способ II.

Целенаправленно будем получать нулевые элементы под главной диагональю определителя. Для удобства вычислений сделаем a11= 1 (для этого переставим I и III столбцы):

= -= (от элементов II строки вычтем соответствующие элементы I строки; от элементов III строки вычтем соответствующие элементы I строки, умноженные на 2; от элементов III строки вычтем соответствующие элементы I строки, умноженные на 6)

= -=( переставим II и III строки)

== (от элементов III строки вычтем соответствующие элементы II строки, умноженные на 3; от элементов IV строки вычтем соответствующие элементы II строки, умноженные на 7)

== 0 (т. к. III и IV строки пропорциональны).

Заметим, что этот способ предпочтительнее, чем хаотичное получение нулей в первом

способе.

2.4. Метод Крамера для решения систем линейных алгебраических уравнений (ЛАУ).

Рассмотрим систему ЛАУ (n уравнений и n неизвестных):

Главным (основным) определителем системы (обозначим его ) называется определитель, составленный из коэффициентов при неизвестных x1, x2,…, xn:

= .

Обозначим через xj определитель, полученный из основного заменой j-ого столбца на столбец свободных членов b1, b2,…, bn, т. е.

x1 = , x2 = , … , xn = .

Тогда решение системы x1, x2,…, xn можно вычислить по формулам Крамера:

x1 = , x2 = , … , xn = .

Если 0, то система имеет единственное решение.

Если = 0 и хотя бы один из xj 0, то система не имеет решений.

Если все =xj = 0 (j = 1, … , n), то систему нужно решать другим способом.

Пример 4. Решить системы ЛАУ по формулам Крамера.

1) 2)

Решение.

1) Составим главный определитель системы и посчитаем его разложением по I строке. = = a11×A11 + a12×A12 + a13×A13 = 1×(-1)1+1×M11 + 0 +4×(-1)1+3×M13 = + 4× = -6-11 +4(2+2) = -17+16 = -1.

Т. к. 0, то система будет иметь единственное решение.

Составим определитель системы x1 и посчитаем его разложением по II столбцу.

x1 = = a12×A12 + a22×A22 + a32×A32 = 0 + 1×(-1)2+2×M22 +1×(-1)3+2×M32 = - = -78+80 -143+144 = 3.

Составим определитель системы x2 и посчитаем его по «правилу треугольников».

x2 = = -2= -2(1×36×3 + 2×10×4 + 1×13×11 -1×36×4 - 1×10×11 -2×13×3) = -2(108+80+143-144-110-78) -2×(-1) = 2.

Составим определитель системы x3 и посчитаем его разложением по I строке.

x3= = a11×A11 + a12×A12 + a13×A13 = 1×(-1)2×M11+0 + 13×(-1)4×M13 =

+13 = -20 -36+13(2+2) = -4 .

По формулам Крамера:

x1 = = = -3, x2 = = = -2, x3 = = = 4, т. е.

2) = = -2 = 0 (т. к. II и III строки пропорциональны).

x2 = = 10 -3- 8-6 -10 -4 = -21.

Т. о. x1 = = .

Операция не определена, т. е. система не имеет решений.