Опыт деятельностного подхода к реконструкции памятников архитектуры (стр. 2 )

Для ускорения вычислений можно воспользоваться компьютером, если составить соответствующую программу, обозначив |OА| через R и использовав стандартную функцию SIN:

ПРОГРАММА 1

10 REM ВЫЧИСЛЕНИЕ МАЛОЙ СТОРОНЫ ОСНОВАНИЯ ПИРАМИДЫ ДЖОСЕРА

20 PRINT «ВВЕДИТЕ R»

30 INPUT R

40 k=SIN(3.14159/3)/SIN(75*3.14159/180) : PRINT «k=»;k

50 АC=R*k : PRINT «АС=»;АC; «м», «МАЛАЯ СТОРОНА ОСНОВАНИЯ =»; 12*АC; «м»

60 END

При составлении программы использовалась методика пособия [8]. При этом, так как программное обеспечение компьютера осуществляет работу только с радианным выражением величин углов, при вычислении коэффициента k (см. строку 40) мы использовали формулу перехода от градусной меры к радианной (см. [8], c. 66). Для прочности число p мы взяли с шестью значащими цифрами: p » 3,14159.

Введя в компьютер R = 10, получаем:

k = .8965753

АС = 8.965753 м МАЛАЯ СТОРОНА ОСНОВАНИЯ = 107.589 м

Это вполне соответствует ранее полученным результатам. Округлив полученные длины с точностью до мм, получаем, что длина отрезка АС равна 8 м 96 см 6 мм, а длина малой стороны пирамиды Джосера равна 107 м 58 см 9 мм.

Таким образом, основание пирамиды Джосера получается из 6 ´ 6 исходных прямоугольников, а это значит, что если разметчики шли «нашим» путем, они могли оставить какие-то следы такой экстраполяции. Так, в [14] на с. 19 – 20 авторы, в общем-то, далекие от реконструкции, которой занимаемся мы, делают следующее предположение: «Возможно, до начала строительных работ всю поверхность выровненной скалы разбивали на квадраты, высекая в ней канавки. Это была предварительная разметка граней пирамиды. Только после этого приступали к непосредственному сооружению пирамиды». Наша реконструкция предполагает именно такой подход, правда, у нас фигурирует не квадрат, а прямоугольник, но в данном ракурсе не это важно. Тем более, авторы [14] наверняка не придавали большого значения такому уточнению – скорее всего, как для них, так в данном случае и для нас, принципиален вопрос о канавках, с помощью которых задавалась сетка, определяющая размеры пирамиды.

Полученные нами размеры основания пирамиды Джосера несколько разнятся с размерами, указанными в литературе, однако и в литературе нет единого мнения по этому вопросу. Так, в книге , где приведена таблица основных египетских пирамид (по В. Замаровскому [9]), даны размеры 125 м ´ 115 м (см. [5], с. 46), а в книге К. Целлар – размеры 118 м ´ 140 м (см. [10], с. 61). Как видно из приведенных размеров, они достаточно сильно отличаются друг от друга. Это и понятно, если вспомнить возраст пирамиды.

2.3. Ступени. Перейдем к ступеням, из которых состоит пирамида. Приведем продолжение цитаты, приведенной несколькими строками выше: «Строители возводили громаду пирамиды, укладывая блоки гигантскими ступенями. Среди этих блоков, по словам Геродота, не было ни одного, который не достигал бы 9 метров».

Предположим, что высота ступеней равна 10 м. Тогда общая высота пирамиды, которая имеет шесть ступеней, будет равна 60 м, что вполне соответствует литературным источникам - 61 м в [5] (см. с. 46) и 60 м в [10] (см. с. 61).

Определим наклон ступеней, руководствуясь, как и ранее, условием простоты: воспользуемся логикой построения исходного прямоугольника – глубину и высоту скоса ступеней определим как разность стороны четверти вспомогательного квадрата и отрезка АС: 10 - |АС| » 10 м – 8,966 м = 1,034 м. На рис. 17 изображены разрезы двух ступеней: а) с меньшей стороны, б) с большей стороны. При этом учтено, что глубина ступеней у их основания с меньшей стороны равна 10 м, а с большей стороны - длине отрезка АС, т. е. 8,966 м. Таким образом, |С1С2| = |С4С5| = |С6С7| = |С9С10| » = 1,04 м; |С2С3| = |С3С4| = |С7С8| » 8,966 м; |С8С9| » 8,966 м – 1,034 м = 7,932 м.

Из проведенного исследования видно, что при решении данной задачи мы фактически пользовались не только модулем в 20 м, но и модулем в 10 м. Чтобы это понять, вспомним определение модуля: «В архитектуре и строительстве исходная мера, принятая для выражения кратных соотношений размеров комплексов, сооружений и их частей» (см. [11], c. 829, или [12], с. 218).

* * *

Рассматривая настоящее исследование как методическую разработку, можем предложить учащимся целый ряд вопросов и заданий, работающих не только на развитие математических умений, но и дающих выход в школьный предмет, связывающий математику с архитектурным строительством, т. е. в черчение, предоставив учащимся таким образом дополнительные возможности для дальнейших исследований. А если прибавить еще и задания по использованию компьютера для проверки проведенных расчетов и, более того, для проведения описанной реконструкции не только привычными геометрическими методами с помощью различных чертежных инструментов (линейки, угольников разных видов, масштабной линейки, циркулей разных видов, транспортира), но и на экране дисплея компьютера, то демонстрация интеграции математики, черчения и информатики, не только как учебных предметов, но и как объективных составных частей практически всякого исследования рассматриваемого вида, становится достаточно убедительной. Так, кроме уже предложенных ранее «теоретических» заданий на доказательство, можно дать учащимся, например, такие «практические» задания:

-  воспроизвести (повторить) процесс реконструкции основания пирамиды Джосера:

а) с помощью шнура, пусть даже с помощью современной веревки – во дворе, на спортивной площадке, или в коридоре школы, т. е. в любом месте, где имеется разровненная площадка достаточного размера. Поскольку полностью соблюсти условия построения первой оси очень сложно, выбрать ее из соображений удобства. Модуль выбрать с учетом объективных обстоятельств, которые задаются, естественно, размерами выбранной площадки;

б) привычными чертежными инструментами (по выбору) на листе бумаги; направление первой оси и модуль выбрать, как и в предыдущем случае, с учетом размера этого листа;

в) на экране дисплея компьютера. При этом могут возникнуть затруднения с построением равностороннего треугольника ОАВ. Решить эту проблему одним из следующих способов:

a) геометрически, например, сначала разделив отрезок ОА пополам (любым возможным способом, вплоть до того, что первоначально отрезок ОА составить из двух равных отрезков), а затем проведя через полученную середину горизонтальную прямую и с помощью палетки с нанесенным на ее крае отрезком, равным ОА, из точки О этим радиусом засечь на проведенной горизонтальной прямой точку В;

b) с помощью координатного метода, догадавшись, а затем и доказав, что ордината точки В та же самая, что и у середины отрезка ОА, а абсцисса отличается от абсциссы той же точки на . При этом, естественно, нужно будет составить соответствующую программу с применением графических операторов.

-  нарисовать в аксонометрической проекции:

а) угол одной из ступеней пирамиды,

б) верхнюю ступень пирамиды,

- начертить пирамиду Джосера в системе прямоугольных проекций. На рис. 18 приведено изображение трех основных прямоугольных проекций четверти пирамиды Джосера, а также общая схема получения элементов геометрического построения.

Естественно, для выполнения этих заданий необходимо вспомнить не только традиционную геометрию, но и элементы аналитической геометрии, которые изучаются в средней школе, а также, конечно, черчение (см., например, [13], с. 34 – 43; с. 45 - 51) и информатику. Таким образом, рассматриваемый материал, так же как и предложенная система заданий, служат для осуществления как внутрипредметных, так и межпредметных связей.

3. Пирамида Хеопса. В большинстве источников считается, что в ее основании лежит квадрат. Так, в [10] дается предполагаемый первоначальный размер основания 232,5 м ´ 232,5 м и в настоящее время – размер 230 м ´ 230 м (см. с. 71), в [14] на с. 18 и в [15] на с. 112 говорится, что длина каждой стороны основания составляет 233 м. Однако в [4] и [5] приводятся размеры 233 м ´ 233,16 м (см., например, [5], с. 46, 148), которые говорят о том, что, возможно, основание пирамиды Хеопса - прямоугольное. Несмотря на это, мы все-таки будем считать, что в основании пирамиды Хеопса лежит квадрат. Его разметка может быть произведена с использованием тех же геометрических принципов, что и разметка основания пирамиды Джосера, с той только разницей, что при построении взаимно перпендикулярных осей здесь используются не только равносторонние треугольники, как в реконструкции пирамиды Джосера, но и два разносторонних треугольника со сторонами, равными диагонали АD четверти вспомогательного квадрата, ее отрезку АС, построенному ранее (рис. 13, 16) и ее же отрезку АЕ, отсеченному биссектрисой угла СОD (рис. 19). Назовем этот треугольник вспомогательным и построим его (см. рис 20). Обозначим длины его сторон через a, b, c (a = |AС|, b = |AE|, c = |AD|), а величины его углов, как обычно: a - величина угла, лежащего против стороны с длиной a, b - величина угла, лежащего против стороны с длиной b, и, наконец, g - величина угла, лежащего против стороны с длиной c.

С практической точки зрения построение на местности сторон этого треугольника с помощью упомянутых ранее инструментов не составляет труда, если учесть, что построение биссектрисы можно провести без построения дуг окружностей, но, например, путем построения ромба с получившимся ранее углом СОD при помощи того же шнура, а именно, куска шнура любой длины, разделенного пополам, используя прием, неединожды примененный нами ранее (см. п. 2). Вершина угла, противоположного углу COD, и определит биссектрису угла СOD (докажите!).

Интересно, что в качестве сторон вспомогательного треугольника можно использовать и другие отрезки, равные рассмотренным ранее, но построенные несколько иначе, а именно, вместо отрезков АD, АC и AE можно взять соответственно равные им (докажите!) отрезки (см. рис. 21) – диагональ OD4 и ее отрезки OF и OK. Здесь F – точка пересечения диагонали OD4 со стороной АВ равностороннего треугольника ОАВ, К – точка пересечения той же диагонали OD4 с лучом DB, проведенным из вершины D четверти вспомогательного квадрата через вершину В треугольника ОАВ. Возможно, и это скорее всего, построение второй тройки отрезков на местности осуществить проще, чем построение первой, так как включает в себя исключительно проведение отрезков прямых и определение точек их пересечения; отметим, что при этом совсем не обязательно «проводить» луч DB – достаточно засечь точку (K) его пересечения с диагональю OD4.