Опыт деятельностного подхода к реконструкции памятников архитектуры (стр. 6 )

t1 = 2.855119 м d11 = .4004025 м d011 = 4.465908 % d12 = .2669373 м d021 = 2.393296 % d13 = .1334662 м d031 = .9437492 %

откуда видно, что наибольшая относительная погрешность не превышает 4,47 %.

8.2. Теперь перейдем к прямоугольному треугольнику P1SP2 и по аналогии с вспомогательным треугольником вычислим для него

t2 = (a + H + ,

а затем абсолютные погрешности

d21 = |a – 3t2|, d22 = |H – 4t2|, d23 = |- 5t2|.

Тогда относительные погрешности можно будет вычислить по формулам

d21= d21 × 100/a (%), d22 = d22 × 100/H (%), d23 = d23 × 100/(%).

В соответствии с этими формулами добавим в программу 2 следующие строки:

105 t2=(a + H + SQR(a^2 + H^2))/12: d21= ABS(a – 3*t2) : d021 = d21*100/a : d22 = ABS(H - 4*t2) : d022 = d22*100/H : d23 = ABS(SQR(a^2 + H^2) - 5*t2) : d023 = d23*100/ SQR(a^2 + H^2)

106 PRINT «t2=»;t2«м», «d21=»;d21;«м», «d021=»;d021;«%», «d22=»;d22;«м», «d022=»;d022;«%», «d23=»;d23;«м», «d023=»;d023;«%».

После введения в компьютер модуля R = 10 м получаем:

t2 = 2.919531 м d21 = .2071607 м d021 = 2.310578 % d22 = .185607 м d022 = 1.615025 % d23 = 2.155512E-02 м d023 = .1478799 %

откуда видно, что наибольшая относительная погрешность не превышает 2,31 %, что меньше, чем в случае вспомогательного треугольника. Из сделанных оценок ясно одно: как вспомогательный треугольник, так и треугольник P1SP2, являются некоторыми приближениями египетского треугольника, причем, второй – лучше первого. Если полученные проценты приемлемы, то рассматриваемые треугольники (или второй из них) можно считать египетскими, а точнее, родоначальниками египетского треугольника. В таких случаях наш метод построения рассматриваемых треугольников (или только второго треугольника) можно рассматривать как изначальный метод построения египетского треугольника.

Теперь перейдем к реконструкции пирамид Хефрена и Микерина – спутниц пирамиды Хеопса, второй и третьей по величине после нее пирамидам в Гизе. Начнем с пирамиды Микерина, поскольку, хотя она и была построена позднее, ее реконструкция проще реконструкции Пирамиды Хефрена.

9. Пирамида Микерина. Возьмем R = 60 м и введем его в Программу 2. В результате компьютер выдаст а = 53,795 м, что вполне соответствует половине длины стороны основания пирамиды Микерина. Действительно, известно, что длина стороны ее основания может быть равна 108,04 м (см. [5], c.46) или 108,5 м (см. [10], c. 70). В нашем случае получается близкое значение - 107,59 м.

9.1. Чтобы, как и в пирамиде Хеопса, построить вертикальный разрез, проходящий через высоту пирамиды параллельно стороне ее основания (другими словами – через апофемы двух противоположных боковых граней пирамиды – докажите!), как и при реконструкции пирамиды Хеопса, воспользуемся модулем 10 м и вспомогательным треугольником, рассчитанным на компьютере. Пропустив процесс экстраполяции, как и в случае пирамиды Хеопса, построим два вспомогательных треугольника (см. п. 3.2.1, рис. 23), только за вершину пирамиды возьмем середину S0 отрезка Р4Р5 (см. рис. 25.а). Эту точку можно было получить и как пересечение высоты SP2 с отрезком Р4Р5 или без построения точки S – просто соединив точки Р4 и Р5 отрезком, а затем разделив его пополам (например, с помощью шнура). Далее, соединив точку S0 с точками Р1 и Р3, получим разрез пирамиды Микерина (см. рис 25.б).

9.2. Вычислить важные для нас параметры этой пирамиды (длину высоты и угол наклона боковой грани к основанию) можно, догадавшись, что искомая высота равна высоте вспомогательного треугольника, например, треугольника Р1Р2Р4 (докажите!), проведенной из вершины Р4. Следовательно, H0пир » 1,115035R и для пирамиды Микерина, т. е. при R = 60 м, получаем H0пир » 66,9021 м » 66,902 м.

Обозначим величину угла наклона боковой грани пирамиды к плоскости ее основания, т. е. угла Р2Р1S0, через b1. Ясно, что tgb1 = H0/a, откуда получаем b1 = arctg(H0/a). Для вычисления величины угла b1 на компьютере добавим в программу 2 следующие строки:

107 V = ATN(H0/a) : V0=V*180/3.14159 : V1=INT(V0) : V2=(V0-V1)*60 : V3=INT(V2) : V4=(V2-V3)*60

108 PRINT «УГОЛ БЕТА 1=»; V0; «град=»; V1; «град»; V2; «мин=»; V1; «град»; V3; «мин»; V4; «сек»

Здесь V – величина угла в радианах, V0 – величина этого угла в градусах, представленная в десятичном виде, V1 – количество полных градусов, V2 – количество минут, содержащихся в дробной части градусной меры V0, V3 – количество полных минут в V2, V4 – количество секунд, содержащихся в дробной части минутной меры V2.

Запустив программу в новом варианте, получаем:

H0=66.90215 м

УГОЛ БЕТА 1 = 51.19806град = 51град11.88377мин = 51град11мин53.02643сек

После разумного округления получаем, что высота пирамиды Микерина равна 66,9 м, а угол наклона боковой грани к плоскости основания равен 51°12¢. Эти результаты достаточно близки к известным из литературы: 66,5 м и 51°20¢ в [10], c. 70 и 74; 66,4 м и 50°53¢ в [5], с. 204. Вообще, относительная погрешность для стороны основания находится в диапазоне между 0,4 % до 0,84 %, для высоты – в диапазоне между 0,6 % и 0,75 %, для угла наклона боковой грани к плоскости основания – в диапазоне между 0,26 % и 0,62 % (проверьте!).

9.3. Нетрудно проверить и для пирамиды Микерина утверждение о приближении числа p: если провести вычисления, аналогичные п. 5, то получим число 3,22, которое дает приближение с точностью до одной десятой, или, точнее - до шести сотых, относительная погрешность 2,4 %. Отсюда видно, что это тоже приближение, но менее точное, чем в пирамиде Хеопса.

9.4. Теперь возникает вопрос – а не является ли полученный при построении пирамиды Микерина прямоугольный треугольник египетским? Проверить это можно аналогично тому, как мы это делали для прямоугольного треугольника пирамиды Хеопса (см. п. 8.2). В результате получим ответ: да, с максимальной относительной погрешностью 4%. А это говорит о том, что рассматриваемый треугольник более «египетский», чем вспомогательный треугольник, но менее «египетский», чем прямоугольный треугольник из пирамиды Хеопса (ср. с результатами из п. 8).

10. Пирамида Хефрена. Реконструкцию пирамиды начнем, как и во всех других случаях, с основания. В литературе упоминаются следующие его размеры: 215,3 м ´ 215,3 м в [5], с. 46; 210,5 м ´ 210,5 м в [10], с. 72. Разделив первый размер пополам, получим 107,65 м, что очень напоминает размер малой стороны основания пирамиды Джосера. А это значит, что в качестве половины стороны основания пирамиды Хефрена мы можем взять эту малую сторону пирамиды Джосера, сделав все расчеты аналогично п. 2.2, только не при R = 60 м, а при R = 120 м. После обращения к компьютеру с помощью программы 1 получим результат: 215,1781 м » 215,18 м, что очень близко к первому из упомянутых выше размеров.

10.1. Для высоты пирамиды Хефрена известен размер 143,5 м (см. [5], с. 46; [10], с. 70). Приблизительно такую высоту мы можем получить, если за высоту возьмем высоту S0P2, построенную аналогично высоте пирамиды Микерина (см. предыдущий пункт), которая равна высоте вспомогательного треугольника, но не при R = 60 м, а при R = 130 м. Для вычисления ее длины воспользуемся программой 2 с добавлением строки 101, введенной в п. 3.1.4. В результате получим H0пир » 144,9547 м » 144,955 м.

10.2. Таким образом, мы построили и вычислили сторону основания и высоту пирамиды. Соединив вершину с концами основания, получим апофемы пирамиды Хефрена и ее вертикальный разрез по плоскости, параллельной основанию пирамиды и проходящей через ее высоту. Острый угол при основании даст нам угол наклона боковой грани пирамиды к ее основанию. Обозначим его b2. Чтобы вычислить его значение, воспользуемся методикой предыдущего пункта (см строки 107 и 108), предварительно введя в компьютер уже имеющиеся у нас значения длин а = 107,589 м и Н0пир = 144,955 м:

ПРОГРАММА 3

10 REM угол наклона боковой грани к основанию в пирамиде ХЕФРЕНА

20 PRINT «ВВЕДИТЕ a и Н0»

30 INPUT a, H0

40 V = ATN(H0/a) : V0=V*180/3.14159 : V1=INT(V0) : V2=(V0-V1)*60 : V3=INT(V2) : V4=(V2-V3)*60

50 PRINT «УГОЛ БЕТА 2=»; V0; «град=»; V1; «град»; V2; «мин=»; V1; «град»; V3; «мин»; V4; «сек»

60 END

В результате получаем:

УГОЛ БЕТА 2 = 53.41631град = 53град24.97833 мин = 53 град24мин58.69995сек

После округления до минут приходим к значению угла наклона, равному 53°25¢. Из литературы известны значения этого угла, равные 53°7¢ (см. [4], с. 204) и 52°20¢ (см. [10], с. 72), как видим, достаточно близкие к полученному нами.

Относительные погрешности для основных трех параметров пирамиды Хефрена следующие: для стороны основания – 0,05 %, для высоты – 1 %, для угла наклона боковых граней к плоскости основания – 0,6 % (Удостоверьтесь в том, что это именно так!)

10.3. Испытание на приближение числа p в рассмотренной реконструкции пирамида Хефрена практически не выдерживает, так как в результате соответствующих вычислений (см..п. 5 и п. 9.3) получаем число 2,9689 » 3, которое можно рассматривать разве что как приближение с точностью до целых, или, точнее, до двух десятых, относительная погрешность 5,5 %.

10.4. Испытание рассматриваемого прямоугольного треугольника на «египетскость», проведенное по методике п. 8.2, дает очень хороший результат – относительная погрешность не превышает 0,6%, который значительно лучше, чем в пирамидах Хеопса и Микерина (ср. с результатами п. 8 и п. 9.4).

11. Общие расчетные модули. На рис. 26 приведены разрезы по апофемам противоположных боковых граней пирамид Хеопса, Хефрена и Микерина, совмещенные по высоте и центру основания. Из рисунка видно со всей очевидностью присутствие в реконструкции общего модуля: вспомогательного треугольника, а в построении основания – общего отрезка АС (см. п. 2.2) с длиной 8,966 м, которому кратна длина малой стороны пирамиды Джосера и длины сторон оснований всех пирамид в Гизе. А поскольку все вспомогательные элементы получены, исходя из отрезка в 10 м, то именно отрезок длины 10 м является модулем, общим для всех пирамид.