Опыт деятельностного подхода к реконструкции памятников архитектуры (стр. 4 )

H0 = c × sinb = R sinb. (10)

Если мы хотим провести вычисления вручную, то для начала вычислим sinb = », а затем sinb » 1,414213 × 0,788449 » 1,115035. Следовательно,

H0 » 1,115035R. (11)

Если воспользоваться компьютером, то достаточно в программу 2 добавить строку:

101 H0 = R*SIN(U)*SQR(2) : PRINT «H0=»;H0; «м»

Для элементарного вспомогательного треугольника, т. е. при R = 10 м, получим H0 » 11,15035 м » 11м 15 см 0,4 мм. А для пирамиды Хеопса, т. е. при R = 130 м, H0пир » 144,9547 м » 144 м 95 см 5 мм.

3.2. Пространственная реконструкция пирамиды Хеопса. Представим себе правильную четырехугольную пирамиду, в основании которой – квадрат со стороной длины 2а, а угол наклона боковой грани к основанию равен b. Рассмотрим разрез этой пирамиды плоскостью, проходящей через высоту пирамиды параллельно стороне основания. Тогда (см. рис. 22) вспомогательный треугольник окажется внутри получившегося прямоугольного треугольника со стороной длины а. При этом, как видно из рисунка, в построенном сечении содержатся два вспомогательных треугольника, симметричные относительно высоты пирамиды. Проведенный анализ показывает, что построение высоты пирамиды можно осуществить с помощью все того же вспомогательного треугольника, точнее, двух вспомогательных треугольников, противоположно ориентированных. Итак,

3.2.1. Построение высоты пирамиды. Построим перпендикулярный разрез, описанный выше. Сделаем это следующим образом (см. рис. 23):

а) на луче P1P от точки Р1 последовательно один за другим отложим два отрезка длины а (|Р1Р2| = |Р2Р3| = a). В одну сторону от прямой Р1Р отложим два вспомогательных треугольника P1P2P4 и P3P2P5 так, чтобы, естественно, их стороны с длиной а совпали с отмеченными на луче Р1Р отрезками, а вершины углов с величиной b попали в точки Р1 и Р3;

б) продлим сторону Р1Р4 за вершину Р4 и сторону Р3Р5 за вершину Р5 до их пересечения. Таким образом, получаем S – вершину пирамиды. Соединим точки S и Р2.

Оказывается, что SP2 ^ P1P3 (докажите) и, следовательно, SP2 – высота. Перейдем к вычислению ее длины.

3.2.2. Вычисление длины высоты пирамиды. Обозначим длину высоты SP2 через H. Из построенного прямоугольного треугольника вычисляем H по формуле

H = a × tgb = R × k × tgb, (12)

где, так как sinb » 0,788449 (см. п. 3.1.4),

tgb = . (13)

Следовательно,

H » R × 0,896576 × 1,28182 » 1,14929R. (14)

Для элементарного вспомогательного треугольника, т. е. при R = 10 м, имеем H » 11,493 м, а для пирамиды Хеопса, т. е. при R = 130 м, получаем Hпир » 149,402 м.

Для вычисления длины высоты H с помощью компьютера можно в соответствии с формулой (12) в программу 2 добавить всего одну строку:

102 PRINT «H=»;R*K*TAN(U);«м»

После запуска программы 2 с таким добавлением для пирамиды Хеопса получаем: H = 149.4027 м

Разумно округлив эти результаты, приходим к тому, что Hпир » 149,403 м, и это значение практически совпадает с значением, полученным нами вручную с использованием таблиц.

3.3. Сравнительные оценки. Итак, для пирамиды Хеопса мы получили:

1)  длина стороны основания равна 2а = 2 × 116,555 м = 233, 11 м;

2)  длина высоты равна Hпир = 149, 403 м;

3) величина угла наклона боковой грани к плоскости основания равна b = 52°2¢27¢¢.

Сравним полученные нами параметры для реконструкции пирамиды Хеопса с известными в литературе. Как было отмечено в самом начале настоящего пункта, длина стороны основания колеблется от 232,5 м до 233, 16 м, откуда видно, что наш результат входит в указанный диапазон.

Поскольку в настоящее время вершины у пирамиды Хеопса нет, предполагаемая высота пирамиды Хеопса в разных источниках приводится разная:

145 м (1907 г., см. МЭС Брокгауза – Эфрона [18], с. 996);

146,52 м (Фалес Милетский, 585 г. до н. э., определил эту высоту, используя метод «подобия теней», см. [5], с. 107);

146,59 м (предполагаемая первоначальная высота, см. [10], с. 70);

146,6 м (, назвавший эту высоту проектной, получил ее на основании вычислений с учетом угла наклона боковых граней, 1992, см. [5], с. 46, с. 108; также [11], с. 1015; [15], с. 112);

147,8 м (предполагаемая первоначальная высота, [5], с. 87);

147 м (предполагаемая первоначальная высота, сейчас из-за обвала вершины – 137 м, см. [14], с. 18);

148,5 м (предполагаемая первоначальная высота, см. [19], с. 26, рис. 20).

Полученная нами длина высоты превосходит приведенные варианты, однако не на много: наибольшее из приведенных выше значений высоты (148,5 м) – на 0,9 м, что дает относительную погрешность всего 0,6 %, а наиболее часто приводимое значение (146,6 м) – на 2,8 м, что дает относительную погрешность не более 2 % (проверьте!).

Величина угла наклона боковой грани пирамиды к основанию дается следующая:

51°30¢ (см. [5], с. 204);

51°52¢ (см. [10], с. 71).

Разница полученного нами значения величины угла b » 52°2,5¢ с этими значениями находится между 8,5¢ и 32,5¢, что дает диапазон относительных погрешностей от 0,27% до 1%.

Таким образом, сконструированная нами пирамида является достаточно точной реконструкцией пирамиды Хеопса.

4. Насыпь. Геометрическая организация пространства пирамид Джосера и Хеопса, на первый взгляд, проходила неодинаково: в первом случае мы видим продолжение традиции строительства мастаб (древнеегипетских гробниц, имеющих форму лежащего бруса с наклоненными к центру стенами, 3-е тыс. до н. э., см., например, [11], c. 779), во втором – принципиально новое архитектурное решение. На самом деле, геометрия пирамиды Хеопса в какой-то мере является продолжением геометрии пирамиды Джосера – та же ступенчатость, хотя и закамуфлированная гладкой облицовкой, тот же ритмичный повтор при возведении ступеней. Есть еще один признак «родства», но он уже связан не столько с геометрической организацией, сколько с технологическим просчетом во время строительства первой пирамиды и относится он к насыпи: во время подвозки материала грунт, из которого делалась наклонная насыпь, к моменту завершения строительства четырехступенчатой пирамиды (проектная высота) пирамиды уплотнился настолько, что убрать эту насыпь можно было только разрезая ее на блоки. Вероятнее всего, возникло иное решение: насыпь-монолит оставить и на этом готовом фундаменте достроить пирамиду до высоты шести ступеней. При этом вновь появившуюся насыпь своевременно разрезали на блоки, которые потом были использованы для достройки.

Естественно, при строительстве пирамиды Хеопса такое использование насыпи уже могли включить в проект. Именно такое объяснение дает обоснование сенсационному факту, установленному не далее как в 1981 году американским профессором-химиком Джозефом Давидовицем, который после тщательного обследования химическими средствами и с помощью микроскопа пяти блоков пирамиды Хеопса установил, что эти блоки имеют искусственное происхождение. При этом в одном из них был обнаружен человеческий волос длиной 21 см, который, по мнению исследователя, упал с головы строителя (см. [5], c. 101). Однако Давидовиц после этого сделал неверный вывод о том, что все блоки пирамиды рукотворны. Наиболее решительно против этой новой гипотезы выступил профессор-египтолог Римского университета Серджо Донадони, который утверждал, что сердцевина пирамиды Хеопса состоит из блоков известняка-ракушечника, в точности подобного тому, который по сей день добывается в окрестных карьерах. То, что речь идет о естественных, а не искусственно изготовляемых кусках камня, по-видимому, доказано наличием на них маркировки - «фабричных меток», указывающих, в каком карьере и какой бригадой камнерезов добыт камень, указания на дату или другие обстоятельства (см. [5], с. 102). Если принять наш вариант, который принимает и объясняет наличие в кладке пирамид как естественных блоков, так и рукотворных, то все встает на свои места.

Рассмотрим некоторые интересные задачи, обсуждаемые в литературе (см., например, [5]) в связи с пирамидой Хеопса.

5. Приближение числа p? В литературе обсуждается вопрос о том, что отношение периметра основания пирамиды Хеопса к ее удвоенной высоте является некоторым приближением числа p. Впервые эту идею выдвинул в 60-ых годах XIX века основатель пирамидологии Джон Тейлор, до сих пор ее поддерживают его многочисленные современные последователи (см., например, [4]). Однако с 80-ых годов XX века эта идея некоторыми специалистами отвергается. Так, в статье «Четыре загадки пирамид», опубликованной в журнале «Наука и религия» (см. [20]), В Бабенко и В. Гаков делают упор на то, что в соотношении периметра основания Великой пирамиды (так часто называют пирамиду Хеопса египтологи) к ее удвоенной высоте нет числа «пи». Сомнению подвергает этот факт и , отмечая, что на фоне самой пирамиды Хеопса, как архитектурного и строительного сооружения, наличие числа «пи» в таком, заметном с первого взгляда, соотношении весьма примитивно (см. [5], с. 124). В то же время представители цифровой мистики продолжают следовать идее Тейлора.

Проверим справедливость этой идеи в нашем варианте реконструкции пирамиды Хеопса. Для этого составим соответствующее выражение 8a/2Hпир = 4a/Hпир и вычислим его по данным п. 3.3: 4 × 116,555/149,403 » 3,12, что дает приближение числа p с точностью до двух сотых с относительной погрешностью, не превышающей 0,7%!

6. Прямоугольный треугольник? Из построения разреза пирамиды Хеопса описанным методом возникает гипотеза о том, что вспомогательный треугольник мог приниматься строителями за прямоугольный. Из наших вычислений ясно, что это не так, поскольку в нем нет угла, равного 90°. Однако значение 88°37¢43,4² очень близко к 90°. Действительно, разница между ними не превосходит 1°22¢16,6². Чтобы понять, что это достаточно малое расхождения для проведения строительной разметки с помощью шнура, вспомним, что все построения мы проводили с помощью вспомогательного треугольника, рассчитанного при R = 10 м, т. е. с помощью треугольника со сторонами a » 8,966 м » 8 м 96 см 6 мм, b » 11,15354 м » 11 м 15 см 3,5 мм, c » 14,14213 м » 14 м 14 см 2 мм (см. формулы (1) при R = 10 м). Особо обратим внимание на длину стороны b – сравним ее с длиной высоты этого треугольника H0 » 11,15035 м » 11м 15 см 0,4 мм. Для этого рассмотрим разность