Дифференциальное и интегральное исчисления функций нескольких переменных

КОНТРОЛЬНАЯ РАБОТА № 4

ДИФФЕЕНЦИАЛЬНОЕ И ИНТЕГРАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЯ ФУНКЦИЙ НЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХ

Для работы над теоретическим материалом рекомендуется ответить письменно на вопросы, размещенные перед контрольной работой, и внимательно рассмотреть образцы решений типовых задач.

ПЕРЕЧЕНЬ ТЕОРЕТИЧЕСКИХ ВОПРОСОВ ДЛЯ КОНСПЕКТИРОВАНИЯ

1. Дифференциальное исчисление функций нескольких переменных

1.  Понятие функции двух переменных. Область определения. Предел и непрерывность.

2.  Частные производные. Полный дифференциал и его связь с частными производными. Касательная плоскость и нормаль к поверхности. Геометрический смысл частных производных и полного дифференциала.

3.  Частные производные и полные дифференциалы высших порядков. Формула Тэйлора.

4.  Неявные функции. Дифференцирование неявных функций одной и двух переменных.

5.  Экстремум функции двух переменных. Необходимые и достаточное условия экстремума.

6.  Правило нахождения наибольшего и наименьшего значения функции двух переменных в замкнутой области.

2. Элементы теории поля

1.  Понятие скалярного поля. Линии и поверхности уровня.

2.  Производная скалярного поля по направлению. Градиент.

3. Кратные интегралы

1.  Определение и геометрический смысл двойного интеграла. Основные свойства двойного интеграла.

2.  Вычисление двойного интеграла в декартовых координатах.

3.  Вычисление двойного интеграла в полярных координатах.

4.  Вычисление площади плоской фигуры и объема тела с помощью двойного интеграла.

5.  Определение и геометрический смысл тройного интеграла. Основные свойства тройного интеграла.

6.  Вычисление тройного интеграла в декартовых и цилиндрических координатах.

4. Криволинейные интегралы

1.  Криволинейный интеграл I рода. Определение. Вычисление.

2.  Криволинейный интеграл II рода. Определение. Вычисление. Формула Грина.

3.  Условие независимости криволинейный интеграл II рода от пути интегрирования.

ПРИМЕРЫ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ

Пример 1. Дана функция . Показать, что выполняется равенство:

.

Ñ Функция – функция двух независимых переменных х и у. При определении частной производной функции z по независимой переменной х вторая независимая переменная y рассматривается как величина постоянная. Поэтому частные производные находим по формулам и правилам вычисления производных функций одной переменной. Этот принцип сохраняется и при повторном дифференцировании.

Найдём частные производные:

Проверим выполнение равенства из условия задачи:

#

Пример 2. Вычислить приближённое значение выражения: .

Ñ Для ответа на поставленный вопрос рассмотрим функцию . При малых приращениях независимых переменных вычисление приращения функции заменяют вычислением её дифференциала:

Формула для вычисления приближённого значения функции имеет вид:

.

Имеем .

Выберем , , тогда ;

;

.

; .

Поэтому #

Пример 3. Найти уравнение касательной плоскости к поверхности в точке, соответствующей

Ñ Если поверхность задана уравнением , разрешённым относительно z (т. е. в явном виде), а точка касания М имеет координаты , то уравнение касательной плоскости записывается так:

.

Если поверхность определена уравнением (т. е. поверхность задана в неявном виде), а точка касания М имеет координаты , то касательная плоскость определяется уравнением:

.

В нашем случае уравнение поверхности разрешено относительно z, то есть поверхность задана в явном виде. Прежде всего, найдём аппликату точки касания: . Итак, точка касания имеет координаты М (1; 1; 4).

Вычислим значения частных производных в точке касания:

Тогда уравнение касательной плоскости примет вид:

. #

Пример 4. Найти экстремум функции .

Ñ Функция – функция двух независимых переменных. Найдём стационарные точки функции, то есть точки, для которых выполняется необходимое условие экстремума: .

; .

Решаем систему , которая в нашем случае запишется так:

Сокращаем на 6 и, выполняя подстановку , получаем:

, .

Корни этого уравнения . Учитывая подстановку, находим соответствующие значения у:

.

Получили две стационарные точки (0; 0) и (6; 6). Чтобы выяснить, будут ли найденные точки являться точками экстремума, проверим выполнение достаточного условия экстремума. Для этого вычислим значения вторых частных производных в этих точках:

;

;

.

Для первой точки (0; 0) имеем:

;

;

.

Составим ; .

Так как , то при функция экстремума не имеет.

Для второй точки (6; 6) имеем:

;

;

.

.

Так как , то при функция имеет экстремум.

Характер экстремума определяем по знаку А. Так как А = 72 > 0, то при функция имеет минимум.

. #

Пример 5. Найти наибольшее и наименьшее значения функции в замкнутой области D, заданной системой неравенств:

.

Ñ Функция z непрерывна в замкнутой области D. Значит, она достигает в этой области своих наибольшего и наименьшего значений. Эти значения достигаются либо в стационарных точках внутри области, либо на границе этой области.

Для решения построим область D на плоскости: - парабола ;

у = 0 – ось ОХ (рис.1).

Найдём стационарные точки (точки, в которых обе частные производные обращаются в нуль).

,

.

Решаем систему уравнений , и находим, что .

Итак, имеется одна стационарная точка (0; 0), лежащая на границе области D. Значение функции в этой точке .

Переходим к исследованию границы области D. Граница области D включает в себя отрезок АВ и дугу . На отрезке : , и функция z принимает вид:

, .

Так как на этом отрезке функция z непрерывна, то она принимает на нём как наибольшее, так и наименьшее значения (см. пример № 14 к контрольной работе №2).

; критическая точка (0; 0)

Значение функции в этой точке вычислено выше.

Значения функции на концах отрезка:

;

.

На участке дуги параболы : функция z принимают вид:

, .

.

Находим критические точки:

,

Соответствующие значения у следующие: , .

Находим значения функции в этих точках , . Значения функции на концах отрезка , просчитаны выше.

Сравнивая полученные результаты, имеем: наибольшее значение функции: , наименьшее значение функции: . #

Пример 6. Найти производную функции в точке в направлении вектора .

Ñ Производная от функции по направлению вектора характеризует скорость изменения функции z по этому направлению. Эта производная вычисляется по формуле:

,

где - координаты единичного вектора данного направления.

,

.

Найдём единичный вектор вектора :

.

; ,

т. е. , . Значит,

. #

Пример 7. Найти наибольшую скорость изменения скалярного поля в точке .

Ñ Наибольшую скорость изменения скалярного поля характеризует градиент поля. Скалярное поле изменяется с наибольшей скоростью в данной точке по направлению градиента:

.

Вычислим координаты градиента:

,

.

Таким образом, .

Величина наибольшей скорости изменения скалярного поля в точке А есть модуль градиента, вычисленный в этой точке:

. #

Пример 8. Вычислить площадь плоской области D, ограниченной кривой

Ñ Введем полярные координаты на плоскости. Полярная система координат на плоскости определяется заданием некоторой точки P, называемой полюсом, луча l, называемого полярной осью и единицы масштаба. Если выбрать декартову систему координат так, чтобы ее начало О совпадало с полюсом полярной системы P, а ось Ox шла по полярной оси l, то между полярными координатами (r, j) и декартовыми координатами (x, y) каждой точки M будет осуществляться следующая связь:

. (1)

Чтобы перейти от уравнения заданной кривой в декартовых координатах к ее полярному уравнению, нужно подставить в это уравнение вместо x, y их выражения из формул (1). Тогда полярное уравнение кривой примет вид:

.

Поскольку величина r - величина положительная, то угол j может изменяться только в тех пределах, для которых , т. е. . Построим эту линию по точкам, задавая углу j некоторые значения из этого промежутка. Для вычисления значений r составим таблицу:

j					0
cosj	0				1				0
r	0				2				0

Чтобы построить кривую, проводим из полюса лучи, соответствующие выбранным значениям j, и на каждом луче откладываем отрезки, равные вычисленным значениям полярного радиуса. Полученные точки соединяем плавной кривой.

Область D симметрична относительно полярной оси (рис.3), поэтому достаточно вычислить площадь верхней половины области D и результат удвоить.

Чтобы найти пределы интегрирования по переменной r, проводим координатные r - линии, т. е. линии, вдоль которых меняется только координата r, j остается постоянной. Уравнение этих линий: j = C. Это - система лучей, выходящих из полюса (см. рис.2). Точкой входа лучей в область D является полюс, где r = 0, следовательно, нижний предел интегрирования по r будет 0. Линией выхода лучей из области D является кривая , значит, верхним пределом интегрирования по r будет . Внешний интеграл по j имеет всегда постоянные пределы. В нашем случае: от 0 до .

Для верхней половины области D имеем: Поэтому

. #

Пример 9. Вычислить криволинейный интеграл от точки А(1;0) до точки В(0;2).

а) по прямой ;

б) по дуге параболы ;

в) по дуге эллипса

Вычисление криволинейного интеграла сводится к вычислению определенного интеграла.

Ñ а) Пользуясь данным уравнением линии, преобразуем криволинейный интеграл в определенный интеграл с переменной интегрирования х, затем вычислим его. Из уравнения прямой выразим у через х: , тогда , следовательно,

.#

Ñ б) Здесь удобно преобразовать криволинейный интеграл в определенный интеграл с переменной интегрирования у, т. к. x выражается рационально через y. Заменяя в подынтегральном выражении

,

и, учитывая, что y изменяется от 0 до 2, получим:

. #

Ñ в) Преобразуем криволинейный интеграл в определенный интеграл с переменной интегрирования t, а затем вычислим его.

Þ

Чтобы найти пределы интегрирования, выразим t через x и подставим численные значения x: ,. Таким образом,

. #