Дифференциальное исчисление функции нескольких переменных

Дифференциальное исчисление функции нескольких переменных

Основные определение и понятия.

1. Образ функции двух переменных, область определения и изменения функции.

2. Частные производные, их геометрический смысл.

3. Производные высших порядков.

4. Дифференциал функции двух переменных, приближенные вычисления с помощью дифференциала.

5. Касательная плоскость и нормаль к поверхности.

Переменная zZ называется функцией двух независимых переменных (х, у), если для всякой пары (х, у)G по закону (правилу) f : (x,y) → z (z = f(x,y)) устанавливается взаимно-однозначное соответствие.

Множество G называется областью определения функции z = f(x,y) и обозначается

Множество Z называется областью изменения функции z = f(x,y) и обозначается Е(z).

Функция двух переменных может обозначаться:

а) в явном виде z = f(x,y); z = φ(x,y); z = z(x,y);

b) в неявном виде F(x,y,z(x,y))=0.

Если (х0,у0)G, то z0 = f(х0,у0) называется частным значением функции z = f(x,y) в точке.

Например, a) для функции z = x2+y2 : D(z) – множество всех пар (x,y), принадлежащих плоскости хоу, Е(z) ≥ 0;

b) для функции z = : D(z) – множество всех пар (x,y), принадлежащих плоскости хоу и удовлетворяющих закону функциональной зависимости, то есть для всех пар (x,y), лежащих внутри круга радиуса R = 1 и на его границе (окружности): ; Е(z) ≥ 0.

Графиком функции дух переменных является поверхность в пространстве .

 

Пример 1. Найти область определения и изменения функций

1)  z =ln(x-y) и 2) ; изобразить на плоскости хоу

множество точек области определения этих функций.

1) Закон (правило) соответствия функции и пар независимых переменных z = f(x,y) – логарифмический, поэтому (х – у)>0, то есть х > у. Область определения – множество точек плоскости хоу, лежащих под прямой у = х, не включая точек, принадлежащих прямой, поэтому ее изображают пунктиром.

Область изменения по закону функциональной зависимости z .

 

2) Закон (правило) соответствия z = f(x,y) ,

поэтому (у – х2) ≥ 0, то есть у ≥ х2. Область определения –

множество точек плоскости хоу, лежащих внутри

параболы у ≥ х2, включая точки, принадлежащих

параболе (границе области). Область изменения по

закону функциональной зависимости z ≥ 0.

Определение частных производных функции двух переменных и их геометрический смысл.

Частными производными функции z = f(x, у) называются пределы отношения приращений функции z = z(х, у) к приращению соответствующего аргумента по направлениям ох или оу при Δх → 0 и Δу → 0 соответственно:

Частная производная по х:

 

при вычислении считают у = const.

Частная производная по у:

 

при вычислении считают x = const.

Геометрически

, где α – угол касательной к поверхности в точке с направлением оси ох;

, где β – угол касательной к поверхности в точке с направлением оси оу.

Правила дифференцирования, табличные производные первого и высших порядков.

Правила дифференцирования и табличные производные функции одной переменной полностью справедливы для функции двух и нескольких переменных.

Для функции двух переменных z = f(x, y) существуют две

частные производные первого порядка: и , которые так же являются функциями двух переменным и их можно дифференцировать по переменным х и у. Найдем четыре частные производные второго порядка:

 

Отметим, что смешанные производные высших порядков равны (теорема Шварца): , то есть различных производных

второго порядка – три: , , .

Третьих производных для функции двух переменных (z = f(x, y)) – восемь: , но из них различных – четыре, так как смешанные производные при дифференцировании в любом порядке равны:

.

 

Пример 2. Для функции z = sin(xy) + показать, что. .

 

Найдем первые производные:

Найдем вторые смешанные производные:

 

Сравнив полученные выражения,

 

видим, что, то есть проверили теорему Шварца и показали, что.

Дифференциал и его геометрический смысл. Приближенные вычисления с помощью дифференциала. Касательная плоскость и нормаль к поверхности.

Полным дифференциалом функции z = f(x, у) называется линейная часть приращения функции (до касательной плоскости к поверхности в точке (х0;у0)):

 

, где

 

и ─ частные дифференциалы функции.

Для независимых переменных х и у: Δх = dx и Δу = dy.

Как и для функции одной переменной, геометрически приращение функции в сколь угодно малой окрестности точки (х0,у0) эквивалентно дифференциалу Δz ≈ dz при Δх→0, Δу→0, то есть

.

Данную формулу используют для приближенных вычислений функции в точке.

Например, нужно вычислить значение функции в, где

= 1.02 = 1 + 0.02, а у0 = 2.97 = 3 - 0.03: примем за х = 1, а за у = 3;

за Δх и Δу следует выбрать Δх =0.02 и Δу = – 0.03, чтобы погрешность вычисления была наименьшей (не следует в данном примере за Δу выбирать значение Δу = 0.97, а за у = 2, представив точку у0 = 2.97 =2 + 0,97).

Пример 2. Вычислить значение .

Запишем функцию двух переменных и заметим, что вычислить ее необходимо в точке х0 = 0,98; у0 = 1,05.

Воспользуемся возможностью провести вычисления с помощью дифференциала. Представим точку х0 = 0,98 = 1 – 0,02; у0 = 1,05 = 1 + 0,05 и обозначим х = 1; у = 1; Δх = - 0,02; Δу = 0,05.

Вычислим частные производные функции = ; . Тогда .

При и вычислим

.

Вычислив это значение на калькуляторе, получим = 1,0055

Относительная погрешность вычисления с помощью дифференциала составляет 0,0003.

Из определения дифференциала можно еще выделить его геометрический смысл.

Если А(х, у)поверхности z = z(x,y) и

А(х, у)плоскости Z(x,y) = z(A) + a(x-xA) +b(y-yA), а поверхность графика функции сливается с плоскостью в окрестности точки А(х, у), то такая плоскость называется касательной плоскостью к поверхности в этой точке.
Или уравнение касательной плоскости а(х-хА)+b(у-уА)+(-1)(z-zA)=0 и нормальный вектор к ней , который считают нормальным вектором к поверхности в точке А(х, у).

Поэтому дифференциал функции оказывается равным тому приращению аппликаты (ΔZ), которое соответствует приращениям Δх и Δу на касательной плоскости: .

А уравнение касательной плоскости к графику функции z = z(x,y) в точке A имеет вид: или

Нормаль к касательной плоскости и, соответственно, к графику поверхности:, а

уравнение нормальной прямой к графику поверхности можно записать каноническими уравнениями: .

Замечания. 1) Полный дифференциал функции равен нулю (dz=0) тогда и только тогда, когда , причем в этом случае z = const, то есть, геометрически, касательная плоскость параллельна координатной плоскости хоу.

2) Если непрерывная функция z = z(x;y) задана неявно F(x;y;z(x;y))=0 (F(x;y;z); ; ; непрерывные дифференцируемые функции в точке А0(x0;y0;z0), принадлежащей поверхности F(x;y;z(x;y))=0), то

уравнение касательной плоскости к графику функции в точке А0(x0;y0;z0):

; ;

уравнение нормальной прямой к графику поверхности в точке А0(x0;y0;z0):

.

Пример 2. Записать уравнения касательной плоскости и нормальной прямой к поверхности, заданной уравнением z = xy в точке А(1;1;1).

Запишем функцию двух переменных z = xy в неявном виде F(x;y;z)=0, то есть F(x;y;z) = xy – z = 0 и найдем все ее частные производные: F'x = y; F'y = x; F'z = -1 и вычислим их в точке А(1;1;1): F'x (А)= 1; F'y(А) = 1; F'z = -1.

Уравнение касательной плоскости к графику функции в точке А(1;1;1):

(х – 1) + (у – 1) – (z – 1) = 0 или x + y – z =1 с нормалью ;

Уравнение нормали к графику поверхности: .