УДК 517.2
Линейная алгебра (2 семестра): программа учебной дисциплины и методические указания к выполнению контрольной работы № 2 / Сост. , ; РГАТУ имени . – Рыбинск. 2012. – 26 с. – (Заочная форма обучения / РГАТУ имени ).
Методические указания разработаны на основе ФГОС ВПО и предназначены для студентов заочной формы обучения, обучающихся 4 и 5 лет по специальностям 080100 «Экономика предприятий и организаций» и 080200 «Производственный менеджмент» и изучающих линейную алгебру два семестра.
Методические указания содержат рабочую программу, список литературы, методические указания по выполнению контрольной работы №2, основные понятия и формулы, решения типовых задач, варианты контрольной работы по темам: «Аналитическая геометрия», «Элементы линейной алгебры».
СОСТАВИТЕЛИ
кандидат технических наук, доцент ;
старший преподаватель .
ОБСУЖДЕНО
на заседании кафедры высшей математики
РЕКОМЕНДОВАНО
кафедрой высшей математики
© РГАТУ, 2012
РЕШЕНИЕ ТИПОВЫХ ЗАДАЧ
Вариант №0
1.0. Дан треугольник АВС с вершинами в точках: А(3, -2), В(5, 1), С(2, 6). Найти:
1. Уравнение стороны АВ.
Запишем уравнение прямой, проходящей через две точки
А(3, -2), В(5, 1).
;
– уравнение прямой, проходящей через точки А и В.
2. Уравнение высоты CD:
Для высоты CD вектор АВ является нормальным, запишем уравнение прямой 
с нормальным вектором.
Координаты вектора 
. Тогда уравнение высоты, проходящей через точку С:
3. Длину высоты CD найдем как расстояние от прямой АВ до точки С: 
.
2.0. Найти центр, полуоси, фокусы и эксцентриситет эллипса
. Определить расстояние от его центра до прямой 
.
Решение.
Координаты центра эллипса имеют вид С(1; 2).
Полуоси эллипса а=5, b=4. Найдем параметр 
.
Тогда эксцентриситет эллипса 
. Координаты фокусов с учетом сдвига F1(3+1; 2)=(4;2), F2(-3+1; 2)=(-2; 2).
Расстояние от центра кривой до заданной прямой найдем как
.
3.0. Даны координаты вершин пирамиды А(1, -1, 1), В(3, 1, -1),
С(2, 2, 3), D(3, 4, 5). Найти:
1. Уравнение ребра АВ. Запишем уравнение прямой в пространстве через две точки 
.
2. Уравнение грани АВС. Запишем уравнение плоскости, проходящей через три точки: 
.
Разложив определитель по первой строке, получим уравнение плоскости 
.
3. Длину высоты пирамиды DE. Найдем длину высоты как
.
4.0. Найти координаты вектора 
в базисе, состоящем из векторов 
Решение. Запишем матрицу перехода от базиса Е к базису А
и находим
Тогда
или 
5.0. Пусть в пространстве L линейный оператор 
задан матрицей
Найти собственные значения и векторы оператора .
Решение. Составим характеристическое уравнение
или
Решениями последнего уравнения будут 
которые являются собственными числами оператора (число 2 – краткий корень характеристического уравнения).
Далее поступаем следующим образом:
1) Берем 
и подставляем в уравнение и получаем
Ранг матрицы системы равен 2, поэтому можно взять эквивалентную систему
Решая ее, получаем 
Тогда собственному значению соответствуют собственные векторы 
где t – любое число не равное нулю.
2) Подставляем теперь значение 
в систему и получаем
Ранг матрицы равен 1, следовательно, берем только одно уравнение
и находим общее решение 
Полагая 
получаем собственные векторы оператора
отвечающие собственному значению , где u и v могут принимать любые действительные значения не равные одновременно нулю. Проверка
показывает, что собственные векторы найдены правильно.
6.0. Исследовать на знакоопределенность квадратичную форму
Решение. Запишем матрицу квадратичной формы
Вычисляем главные миноры:
Следовательно, квадратичная форма – отрицательно определенная.
