Тема: Интегральное исчисление

ЛЕКЦИЯ № 2

Тема: Интегральное исчисление

Основные вопросы темы:

1.  Первообразные функций и неопределенный интеграл

2.  Основные свойства и формулы неопределенного интеграла

3.  Формула Ньютона-Лейбница для вычисления определенного интеграла. Основные свойства.

4.  Дифференциальные уравнения.

5.  Дифференциальные уравнения с разделяющимися переменными.

Исторические сведения.

История понятия «интеграл» тесно связана с задачами на вычисление площадей, поверхностей и объемов тел. Само слово «интеграл» придумал Бернулли в 1690 г., которое переводится как «приводить в прежнее состояние».

1. Первообразная функции

Определение 1. Функция F (х) называется первообразной для функции f (x), если выполняется равенство .

Например:

1) .

2) .

Определение 2. Если функции f (x) имеет первообразную F (х), то она имеет бесконечное множество первообразных вида F (х) + с, где с =const.

Например:

Определение 3. С геометрической точки зрения графики первообразной можно получить друг из друга параллельным переносом вдоль оси ОУ.

Определение 4. Процесс нахождения первообразной называется интегрированием. Интегрирование – это действие, обратное дифференцированию.

Определение 5. Неопределенным интегралом от функции f (x) называется совокупность всех первообразных вида F (х) + с и обозначается

, где

f (x) – подынтегральная функция

– подынтегральное выражение.

Например:

.

2. Основные свойства и формулы неопределенного интеграла

1) интеграл от суммы

.

2) постоянный множитель можно выносить за знак

.

3) интеграл от сложной функции

.

Формулы интегрирования

1)		8)
2)
3)		9)
4)		10)
5)		11)
6)
7)		12)

Например:

.

б) .

3. Формула Ньютона-Лейбница. Определенный интеграл и его свойства

Рассмотрим на плоскости ХоY фигуру, ограниченную сверху графиком функции y = f (x), снизу на оси ох отрезком [a;b], с боков прямыми x=a, x=b.

Такая фигура называется криволинейной трапецией.

Определение 6. Криволинейной трапецией называется фигура, ограниченная линиями:

сверху – графиком функции;

снизу – отрезком [a;b], лежащим на оси ох;

с боков прямыми x=a, x=b.

Определение 7. Определенным интегралом называется площадь криволинейной трапеции и обозначается ,
где a – нижняя граница интегрирования, b – верхняя граница интегрирования,
f (x) – подынтегральная функция.

Формула Ньютона-Лейбница

Например:

1)

2) .

Основные свойства

1)

2)

3) , если все интегралы существуют

Применение определенного интеграла к вычислению площади плоской фигуры

Пример. Вычислить Sф, ограниченной линиями: .

Построим данную фигуру.

– гипербола,

x = 1, прямая параллельная оси oy,

x = e, прямая параллельная оси oy.

Построенная фигура является криволинейной трапецией.

.

4. Дифференциальные уравнения

Дифференциальные уравнения имеют широкое применение в медицине:

1) для определения скорости кровотока, скорости движения клапанов и стенок сердца (эхокардиография), определения вязкости крови;

2) для описания медико-биологических приложений ультразвука УЗИ, ультразвуковая физиотерапия;

3) для вычисления доли убыли концентрации лекарственного вещества после введения в организм (фармакологическая кинетика).

Определение 8. Дифференциальным уравнением называется уравнение, связывающее между собой независимую переменную х, искомую функцию у и ее производные .

Определение 9. Дифференциальное уравнение называется обыкновенным, если искомая функция зависит от одной независимой переменной.

Определение 10. Порядком дифференциального уравнения называется порядок старшей производной, входящей в данное уравнение.

Например:

– уравнение третьего порядка.

Определение 11. Решением дифференциального уравнения называется такая функция, которая обращает это уравнение в тождество.

Определение 12. Общим решением дифференциального уравнения называется такое решение, в которое входит столько независимых постоянных, каков порядок уравнения.

Определение 13. Дифференциальным уравнением первого порядка называется уравнение, в которое входят производные первого порядка .

5. Дифференциальные уравнения с разделяющимися переменными

Определение 14. Дифференциальным уравнением с разделяющимися переменными называется уравнение вида .

Для решения разделим переменные , а затем проинтегрируем обе части.

Например:

.