Часть 5. Физика твердого тела (стр. 2 )

. (6.3)

Здесь и – фазовая скорость продольной и поперечной волн. Положим для упрощения, что . Тогда

. (6.4)

Поскольку количество нормальных колебаний кристалла ограничено числом (– число атомов), и , колебательный спектр кристалла должен иметь максимальную частоту. Её значение для кристалла единичного объема можно найти, приравняв количество колебаний к (– количество атомов в единице объема):

. (6.5)

Исключив переменную из уравнений (6.4) и (6.5), получим:

.

Внутреннюю энергию кристалла единичного объема найдем путем интегрирования по частоте колебаний:

(6.6)

(здесь – средняя энергия колебаний осциллятора с частотой ). Выше уже говорилось о том, что в теории теплоемкости Эйнштейна для энергии осциллятора использовалась формула Планка , не учитывающая нулевой энергии. Если же использовать формулу

,

и проделать рассуждения, аналогичные тем, которые уже приводились при изложении теории Эйнштейна, то для средней энергии осциллятора получается следующее:

. (6.7)

Сделав в интеграле (6.6) замену (6.7), получим:

.

Первый интеграл дает энергию нулевых колебаний (нулевую энергию):

,

поэтому

. (6.7А)

Продифференцировав последнее равенство по температуре, найдем удельную теплоемкость кристалла:

. (6.8)

Величина , определяемая равенством , называется характеристической температурой Дебая. Из определения следует, что эта величина характеризует область температур, в которой уже существенно квантование колебательной энергии. Сделав в интеграле (6.8) замену

,

получим равенство

,

где . При можно считать, что . Поскольку несобственный интеграл – это число, теплоемкость кристалла в области низких температур пропорциональна . Зависимость получила название закона Дебая. Опыт показывает, что для химически простых кристаллов этот закон выполняется достаточно хорошо. При , когда ,

.

Тогда, учитывая равенство (6.7А), имеем:

Если , , т. е. мы пришли к закону Дюлонга и Пти.

Как уже отмечалось, теория Дебая хорошо описывает зависимость теплоемкости от температуры лишь для химически простых кристаллов. В случае кристаллов более сложного химического состава эта теория неприменима из-за того, что их колебательный спектр значительно сложнее спектра простых кристаллов.

6.4. Фононы

Ранее уже говорилось о том, что Эйнштейн и Дебай, следуя Планку, полагали энергию осциллятора квантованной величиной. Опыт показывает, что многие явления в кристаллах протекают так, как если бы квант, имеющий энергию , обладал бы импульсом (здесь – волновой вектор упругой волны с частотой ). Исходя из этого квант колебательной энергии осциллятора в современной физике рассматривается как частица, обладающая энергией и импульсом , и называется «фонон». Поскольку в отличие от известных вам микрочастиц (электрон, нейтрон, протон и т. п.) фонон не может существовать в вакууме, он относится к квазичастицам. В соответствии с этим импульс фонона называется квазиимпульсом.

Кристалл, состоящий из атомов, можно представить как систему осцилляторов. Выше было показано, что в условиях термодинамического равновесия кристалла с окружающей средой средняя энергия осциллятора с частотой

Эту же энергию можно представить следующим образом:

,

где – величина, которую можно рассматривать как среднее количество фононов в кристалле с энергией . Приравняв правые части двух последних равенств, имеем:

.

Такое же распределение по энергиям свойственно и фотонам, находящимся в термодинамическом равновесии с веществом, излучающим эти фотоны. Это означает, что фотоны и фононы подчиняются одной и той же статистике, которая называется статистикой Бозе–Эйнштейна.

Таким образом, тепловые колебания кристаллической решетки можно рассматривать как фононный газ в кристалле подобно тому, как тепловое излучение рассматривается как газ фотонов. Корпускулярные свойства фононов обнаруживаются в ряде явлений, среди которых мы кратко рассмотрим комбинационное рассеяние света и эффект Мёссбауэра.

В 1928 г. российские физики Ландсберг и Мандельштам и независимо от них индийские ученые Раман и Кришнан наблюдали явление, заключающееся в том, что в спектре света, прошедшего через некоторые газы, жидкости и кристаллы, помимо линии падающего излучения с частотой присутствовали линии с частотами (– частоты колебаний атомов вещества). Поскольку в настоящее время мы рассматриваем физику твердого тела, в дальнейшем мы ограничимся рассмотрением этого явления, получившего название комбинационного рассеяния света, именно в кристаллах.

В рамках классической физики в спектре излучения, прошедшего через кристалл, должна быть лишь одна линия с частотой . Действительно, под влиянием переменного электрического поля падающей на вещество световой волны электроны атомов будут совершать вынужденные колебания именно с такой частотой. В результате этого возникает вторичное (рассеянное) излучение с частотой . В квантовой теории процесс рассеяния света кристаллом можно рассматривать как неупругое соударение фотона с фононом. Если при столкновении энергия фонона воспринимается фотоном, то , т. е. частота фотона увеличивается. В противном случае часть его энергии передается фонону, поэтому частота фотона уменьшается: . Следует отметить, что исследование комбинационного рассеяния света позволяет получить много информации о рассеивающем веществе. Например, можно найти частоты колебаний кристаллической решетки, выяснить свойства симметрии кристалла и многое другое.

Наиболее отчетливо корпускулярные свойства фононов обнаруживаются в явлении, которое называется эффектом Мёссбауэра. Прежде чем переходить к его обсуждению, необходимо рассмотреть вопрос о спектральной ширине линий испускания и поглощения света атомами.

6.5. Спектральная ширина линий испускания и поглощения света

Опыт показывает, что валентные электроны атомов вещества, находящиеся в возбужденном состоянии, могут самопроизвольно (спонтанно) переходить в состояния с меньшей энергией, испуская при этом кванты света – фотоны (далее вместо словосочетания «возбужденные состояния электронов в атомах» мы будем говорить «возбужденные атомы»). Промежуток времени (t), в течение которого количество атомов, находящихся в определенном возбужденном состоянии, уменьшается в раз, называется временем жизни этого состояния. Как правило, величина t для различных атомов имеет значение в промежутке 10-9…10-8 с. Возможность спонтанных переходов указывает на то, что возбужденные состояния атомов нельзя рассматривать как строго стационарные. Из соотношения неопределенностей следует, что энергия возбужденных состояний не является строго определенной, но имеет значения в промежутке , где . Иначе говоря, энергетические уровни атомов характеризуются вполне определенной спектральной шириной (уширением).