Часть 5. Физика твердого тела (стр. 1 )

ЧАСТЬ 5. ФИЗИКА ТВЕРДОГО ТЕЛА

Переходим к следующему разделу общей физики – физике твердого тела, в котором рассматриваются современные представления о механических, электрических, магнитных и оптических свойствах кристаллов. Для вас, будущих инженеров радиоэлектронного профиля, физика твердого тела имеет особое значение. Это обусловлено тем, что элементная база современных радиоэлектронных приборов, в том числе устройств связи и вычислительной техники, изготавливается на основе кристаллов с помощью специальных технологий, позволяющих управлять их свойствами.

Физические свойства кристаллов в основном определяются состоянием электронной оболочки атомов, из которых состоит кристалл, а также колебаниями этих атомов в узлах кристаллической решетки. Вначале мы рассмотрим более подробно колебания атомов, и в качестве иллюстрации их проявлений одно из важных физических свойств кристаллов – их теплоемкость. Затем перейдем к состояниям электронов атомов и рассмотрим важнейшее электрическое свойство кристаллов – электропроводность.

ТЕМА 6. ТЕПЛОЕМКОСТЬ КРИСТАЛЛОВ

6.1. Теплоемкость в теории Эйнштейна

Согласно классическим представлениям, кристалл, состоящий из атомов, обладает колебательными степенями свободы, на каждую из которых приходится средняя энергия теплового движения, равная ( на кинетическую и столько же на потенциальную энергию). Если считать, что внутренняя энергия кристалла состоит только из энергии тепловых колебаний, то для одного моля вещества имеем:

, .

Мы пришли к закону Дюлонга и Пти, согласно которому молярная теплоемкость всех химически простых кристаллов одинакова и равна . Опыт же показывает, что этот закон достаточно хорошо выполняется только при обычных температурах (порядка комнатной). При понижении температуры теплоемкость уменьшается, стремясь к нулю при .

Значение средней энергии тепловых колебаний, равное , получается в рамках предположения о том, что энергия представляет собой непрерывную величину. Рассматривая квантовомеханическую задачу о гармоническом осцилляторе, мы убедились в том, что его колебательная энергия является квантованной величиной:

, .

Теория теплоемкости кристаллов, учитывающая квантование колебательной энергии, была развита А. Эйнштейном в 1907 г. и впоследствии усовершенствована П. Дебаем в 1912 г.

Эйнштейн отождествил кристаллическую решетку, состоящую из атомов, с совокупностью независимых гармонических осцилляторов с одинаковой частотой собственных колебаний. Существование нулевой энергии было установлено значительно позже (после создания квантовой механики), поэтому Эйнштейн исходил из формулы для колебательной энергии осциллятора, предложенной Планком:

, .

Вероятность того, что осциллятор имеет энергию , определяется равенством

,

где – количество осцилляторов с энергией , – общее количество осцилляторов кристалла. Полагая, что в состоянии термодинамического равновесия распределение осцилляторов по энергиям подчиняется закону Больцмана, имеем:

Зная вероятность пребывания осциллятора в состоянии с энергией , можно найти среднюю энергию осциллятора:

Для того чтобы произвести вычисления, сделаем замену и допустим, что переменная изменяется непрерывно. Тогда последнее равенство можно переписать так:

(6.1)

Под знаком логарифма имеется сумма бесконечно убывающей геометрической прогрессии со знаменателем . Имеем:

.

После соответствующей подстановки в (6.1) и дифференцирования получим:

.

Умножив среднюю энергию осциллятора на постоянную Авогадро, получим внутреннюю энергию моля кристаллического вещества:

.

Продифференцировав это равенство по температуре, найдем молярную теплоемкость кристалла:

.

Рассмотрим два предельных случая.

1). При высоких температурах

.

В этом случае

, ,

т. е. мы пришли к закону Дюлонга и Пти.

2). При низких температурах . В этом случае ,

.

Можно показать, что множитель уменьшается при понижении температуры значительно быстрее, чем возрастает множитель . Поэтому теплоемкость кристалла при убывает по экспоненциальному закону. Поскольку на опыте теплоемкость уменьшается пропорционально , можно сказать, что теория Эйнштейна дает лишь качественное согласие с экспериментом.

6.2. Теплоемкость кристаллов в теории Дебая

П. Дебай учел, что колебания атомов в кристаллической решетке не являются независимыми. Смещение из положения равновесия одного из атомов влечет за собой смещение соседних атомов. Таким образом, в теории Дебая кристалл представляет собой систему упруго связанных атомов, обладающих степенями свободы.

Состояние системы связанных атомов с степенями свободы может быть задано с помощью переменных , которые называются обобщенными координатами. Роль обобщенных координат могут выполнять расстояния между атомами, углы между отрезками, их соединяющие, и т. п. Обобщенные координаты можно выбирать по-разному; вместе с тем в теории колебаний доказывается, что система связанных атомов с степенями свободы обладает собственными частотами колебаний независимо от выбора обобщенных координат. При их произвольном выборе каждая из

обобщенных координат как функция времени представляет собой суперпозицию гармонических колебаний с собственными частотами:

.

Вместе с тем обобщенные координаты можно выбрать и так, что изменение каждой из них будет представлять собой не суперпозицию, но простое гармоническое колебание с одной из собственных частот, которое совершается независимо от остальных колебаний. Выбранные таким образом координаты называются нормальными, а соответствующие им гармонические колебания – нормальными колебаниями системы.

Каждому нормальному колебанию кристаллической решетки соответствует стоячая волна, которая устанавливается в кристалле. Действительно, из-за связи между атомами колебание, возникшее в каком-либо месте кристалла, передается от одного атома другому, в результате чего возникает упругая волна. Дойдя до границы кристалла, волна отражается; при наложении прямой и отраженной волн образуется стоячая волна.

Можно показать, что количество стоячих волн в единице объема, частоты которых заключены в промежутке , равно:

(6.2)

(здесь – фазовая скорость упругой волны в кристалле). Формула (6.2) не учитывает поляризации, хотя вдоль любого направления в кристалле могут распространяться три волны с одинаковой частотой и различными направлениями колебаний – одна продольная и две поперечные со взаимно перпендикулярной поляризацией. В соответствии с этим равенство (6.2) следует изменить: