Методика обучения учащихся решению заданий с кратким ответом на вычисление производной функции (стр. 2 )

Стационарная точка, не являющаяся точкой экстремума, называется седловой точкой. Точка x4 — седловая точка.

Возможны ситуации, когда производная в данной точке не существует.

Такое может случиться, например, когда на графике функции имеется излом. В точке из­лома касательную провести нельзя.

X

На данном графике в точках F и G касательная не существует. Следовательно, не суще­ствует и производная в точках x5 и x6.

Но производная может не существовать даже в том случае, когда существует касательная. Ведь производная — это тангенс угла наклона касательной. И если касательная образует с осью X угол 90°, то тангенс не существует.

В случае, изображённом на рисунке, производная в точке x7 не существует.

Стационарные точки (типа x2, x3, x4), а также точки типа x5, x6, x7 называются критиче­скими точками.

Критическая точка функции — это внутренняя точка области определения, в которой производная равна нулю или не существует.

Случаи, когда производная не существует, могут встретиться в части С заданий ЕГЭ. Но в части В задачи стандартные: во всех нужных точках производная существует. Тогда связь поведения функции со значениями её производной иллюстрируется следующей таблицей.

f (x)	возрастает	точка максимума	убывает	точка минимума	возрастает
f '(x)	+	0	—	0	+

2.5.  ПРАКТИЧЕСКАЯ ЧАСТЬ

Первый тип задач блока В8 включает в себя задачи, в которых задана прямая y=ax+b, параллельная касательной к графику функции y=cx2+dx+e или являющаяся касательной к графику функции y=dx3+ex2+fx+g, требуется найти абсциссу точки касания.

При решении используем геометрический смысл производной, а именно что значение производной функции в точке равно угловому коэффициенту касательной, проведенной к графику функции в этой точке. Угловой коэффициент касательной равен тангенсу угла, который она образовывает в положительном направлении оси абсцисс.

Пример 1.

Прямая y=6x+8 параллельна касательной к графику функции y=x2–3x+5. Найдите абсциссу точки касания.

Решение

Ответ: 4,5.

Пример 2.

Прямая y=–5x+14 является касательной к графику функции y=x3+3x2–2х+15. Найдите абсциссу точки касания.

Решение

Ответ: 1.

Пример 3.

Прямая y=3x+9 является касательной к графику функции y=x3+x2+2х+8. Найдите абсциссу точки касания.

Решение

При подстановке полученной абсциссы х1 = – 1 значения функций совпадают, а при подстановке абсциссы х2 = 1/3 не совпадают.

Ответ: – 1 .

В условии задач второго типа раздела В8 дается либо график самой функции, либо график ее производной. И по этому графику необходимо сделать какие-либо выводы, как, например, определить одну из следующих величин:

- значение производной в некоторой точке x0,

- точки максимума или минимума (точки экстремума),

- интервалы возрастания и убывания функции (интервалы монотонности).

Если в задаче дан график функции f(x), касательная к этому графику в некоторой точке x0, и требуется найти значение производной в этой точке, применяется следующий алгоритм:

Найти на графике касательной две «адекватные» точки: их координаты должны быть целочисленными (как правило в задаче эти точки уже выделены). Обозначим эти точки A (x1; y1) и B (x2; y2). Следует правильно выписывать координаты — это ключевой момент решения, и любая ошибка здесь приводит к неправильному ответу.

Зная координаты, легко вычислить приращение аргумента Δx = x2 − x1 и приращение функции Δy = y2 − y1.

Наконец, находим значение производной f /(x) = Δy/Δx. Иными словами, надо разделить приращение функции на приращение аргумента — и это будет ответ.

Еще раз отметим: точки A и B надо искать именно на касательной, а не на графике функции f(x), как это часто случается. Касательная обязательно будет содержать хотя бы две таких точки — иначе задача составлена некорректно.

Пример 4.

На рисунке изображен график функции y = f(x) и касательная к нему в точке с абсциссой x0. Найдите значение производной функции f(x) в точке x0.

Решение. Рассмотрим точки A (−3; 2) и B (−1; 6) и найдем приращения:
Δx = x2 − x1 = −1 − (−3) = 2; Δy = y2 − y1 = 6 − 2 = 4.

Найдем значение производной: f /(x) = Δy/Δx = 4/2 = 2.

Ответ: 2

Пример 5.

На рисунке изображен график функции y = f(x) и касательная к нему в точке с абсциссой x0. Найдите значение производной функции f(x) в точке x0.

Решение. Рассмотрим точки A (0; 3) и B (3; 0), найдем приращения:
Δx = x2 − x1 = 3 − 0 = 3; Δy = y2 − y1 = 0 − 3 = −3.

Теперь находим значение производной: f /(x) = Δy/Δx = −3/3 = −1.

Ответ: −1

Пример 6.

На рисунке изображен график функции y = f(x) и касательная к нему в точке с абсциссой x0. Найдите значение производной функции f(x) в точке x0.

Решение. Рассмотрим точки A (0; 2) и B (5; 2) и найдем приращения:
Δx = x2 − x1 = 5 − 0 = 5; Δy = y2 − y1 = 2 − 2 = 0.

Осталось найти значение производной: f /(x) = Δy/Δx = 0/5 = 0.

Ответ: 0

Из последнего примера можно сформулировать правило: если касательная параллельна оси OX, производная функции в точке касания равна нулю. В этом случае даже не надо ничего считать — достаточно взглянуть на график.

Иногда вместо графика функции в задаче B8 дается график производной и требуется найти точку максимума или минимума функции. При таком раскладе метод двух точек бесполезен, но существует другой, еще более простой алгоритм. Для начала определимся с терминологией:

Точка x0 называется точкой максимума функции f(x), если в некоторой окрестности этой точки выполняется неравенство: f(x0) ≥ f(x).

Точка x0 называется точкой минимума функции f(x), если в некоторой окрестности этой точки выполняется неравенство: f(x0) ≤ f(x).

Для того чтобы найти точки максимума и минимума по графику производной, достаточно выполнить следующие шаги.

Перечертить график производной, убрав всю лишнюю информацию. Как показывает практика, лишние данные только мешают решению. Поэтому отмечаем на координатной оси нули производной — и все.