Методика обучения учащихся решению заданий с кратким ответом на вычисление производной функции (стр. 1 )

Методика обучения учащихся

решению заданий с кратким ответом

на вычисление производной функции

Учитель математики МОУ СОШ №11

г. Красногорска

 

ОГЛАВЛЕНИЕ

ОГЛАВЛЕНИЕ 2

1. ВВЕДЕНИЕ 3

2. ОСНОВНАЯ ЧАСТЬ 3

2.1. ПРОИЗВОДНАЯ ФУНКЦИИ 3

2.2. ПРАВИЛА ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЯ И ТАБЛИЦА ПРОИЗВОДНЫХ 6

2.3. ГЕОМЕТРИЧЕСКИЙ СМЫСЛ ПРОИЗВОДНОЙ 7

2.4. ПРАКТИЧЕСКАЯ ЧАСТЬ 3

3. ЗАКЛЮЧЕНИЕ 33

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ 34

ПРИЛОЖЕНИе

1.  ВВЕДЕНИЕ

По данным «Аналитического отчета ФИПИ по результатам ЕГЭ 2010 года» наиболее сложными в 2010 г. оказались задания по разделу «Функции и начала математического анализа». Это связано с традиционно невысоким уровнем подготовки по этому разделу и формализмом в преподавании начал анализа. В то же время в экзаменационной работе содержалось три задания по данному разделу, требовавших неформального понимания смысла производной функции и простейших методов математического анализа.

С понятием производной функции связано задание В8 единого государственного экзамена. Для решения задания ученик должен уметь вычислять значение функции по известному аргументу при различных способах задания функции и находить производные и первообразные элементарных функций. Для решения данной задачи необходимо знать, в чем состоит геометрический смысл производной. Прежде всего, учащиеся должны внимательно определить: дан график самой функции или её производной. Начиная с задания B8, сложность несколько повышается. От учеников, кроме знания основных формул и определений, требуется наличие определенного опыта. Довольно часто, после прочтения школьного учебника, производная функции кажется чем-то достаточно сложным. Трудности могут возникать, например, при определении производной сложной функции (это такая элементарная функция, аргументом которой является другая функция), где сначала надо выяснить какая из функций в сложной функции является элементарной, а какая – аргументом.

Поскольку процент выполнения заданий В8 оказался в 2010 году самым низким среди заданий В1 – В12 (46%), главная цель данного проекта – вывести каждого ученика на решение задач этого блока, помочь ему получить результат и почувствовать уверенность в своих силах.

Для реализации цели потребуется решение следующих задач:

·  систематизировать теоретические сведения о производной применительно к заданию В8;

·  разработать типовые решения задач на основе серии подобных заданий с минимальными затратами времени;

·  составить многовариантный тренажер заданий для учеников;

·  разнообразить работу с учениками разной степени подготовленности.

Функции и производные, представленные в задаче В8, всегда непрерывны, что значительно упрощает решение.

Для нахождения значения производной, точек экстремума и интервалов монотонности существуют простые и универсальные алгоритмы — все они будут рассмотрены в практической части работы.

2.  ОСНОВНАЯ ЧАСТЬ

2.2.  ПРОИЗВОДНАЯ ФУНКЦИИ

Понятие производной является одним из основных математических понятий. Производная – основное понятие дифференциального исчисления, характеризующее скорость изменения функции, поэтому она широко используется при решении целого ряда задач математики, физики, других наук при изучении скорости различных процессов. Производная функции используется всюду, где есть их неравномерное протекание: это и неравномерное механическое движение, и переменный ток, и химические реакции и радиоактивный распад вещества и т. д., потому как механический смысл производной – это мгновенная скорость.

Производную применяют для исследования функции и построения ее графика, для нахождения наибольшего и наименьшего значений функции. C помощью производной можно упрощать алгебраические и тригонометрические выражения, раскладывать их на множители, доказывать тождества и неравенства и решать вопрос о существовании корней квадратного уравнения. В экономической теории активно используется понятие «маржинальный», что означает «предельный». Предельные или пограничные величины характеризуют не состояние (как суммарная или средняя величины.), а процесс, интенсивность изменения экономического объекта по времени или относительно другого исследуемого фактора.

2.3.  ПРАВИЛА ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЯ И ТАБЛИЦА ПРОИЗВОДНЫХ

Вычисление производной — важнейшая операция в дифференциальном исчислении. В этих формулах f и g — произвольные дифференцируемые функции вещественной переменной, а c — вещественная константа. Этих формул достаточно для дифференцирования любой элементарной функции.

Правила дифференцирования общих функций

Производные элементарных функций

2.4.  ГЕОМЕТРИЧЕСКИЙ СМЫСЛ ПРОИЗВОДНОЙ

Большинство школьных учебников даёт определение производной через определение предела. А определения предела не даётся вообще. Поэтому школьники в лучшем случае помнят таблицу производных и правила нахождения производной, но смутно представляют, что же именно они ищут.

Нарисуем графики двух функций f (x) и g(x).

Спрашивается: какая из них быстрее растёт? Ответ очевиден: конечно, f(x). Скорость из­менения функции f (x) больше.

Скорость изменения функции и называется производной этой функции. У функции f(x) производная больше.

Хорошо, но как мы оценивали производную? Мы смотрели, насколько круто идет вверх график функции, то есть насколько быстро меняется y при изменении x. Очевидно, что одна и та же функция в разных точках может меняться быстрее или медленнее — то есть иметь разные значения производной.

Покажем, как найти производную с помощью графика функции.

Возьмём на графике y = f(x) точку A с абсциссой x0. Проведём в точке A касательную к графику функции. Нам надо оценить, насколько быстро растёт функция, то есть насколько быстро идет вверх её график. Удобная величина для этого — тангенс угла наклона касательной к графику функции.

Производная функции f(x) в точке x0 равна тангенсу угла наклона касательной к графику y = f(x), проведённой в точке A с абсциссой x0:

.

Поскольку тангенс острого угла в прямоугольном треугольнике равен отношению противо­лежащего катета к прилежащему, из прямоугольного треугольника AMN находим:

.

Мы смогли найти производную без всяких таблиц, пользуясь только графиком функции.

Есть ещё одно важное соотношение. Вспомним, что в уравнении прямой y = kx + b угловой коэффициент k показывает, насколько круто идёт прямая по отношению к оси X. Численно коэффициент k равен тангенсу угла наклона прямой: k = tg α.

Таким образом, производная функции в точке x0 равна угловому коэффициенту касатель­ной к графику этой функции, проведённой в точке A с абсциссой x0:

f '(xo) = k.

Обратим внимание, что угол α мы измеряем между касательной к графику и положитель­ным направлением оси X. При этом α

Если функция возрастает (как, например, вблизи точки A), то касательная образует острый угол α с положительным направлением оси X. Тангенс острого угла положителен. Следователь­но, если функция возрастает, то её производная положительна.

Так, в нашем примере будет f'(x0) > 0.

А если функция убывает?

Касательная к графику, проведённая в точке B с абсциссой x1, образует тупой угол α с положительным направлением оси X. Тангенс тупого угла отрицателен. Значит, если функция убывает, её производная отрицательна: f'(x1) < 0. Верны и обратные утверждения:

• если производная функции положительна на некотором промежутке, то функция возрас­тает на данном промежутке;

• если производная функции отрицательна на некотором промежутке, то функция убывает на данном промежутке.

Особый интерес представляют точки, в которых производная обращается в нуль. Они на­зываются стационарными точками функции. Стационарные точки могут быть трёх видов.

1. Точка максимума.

Касательная в точке C горизонтальна, т. е. образует нулевой угол с осью X. Поэтому f'(x2) = 0.

При переходе через точку x2 возрастание функции сменяется убыванием. Иными словами, производная меняет знак с (+) на (—).

Точка x2 является точкой максимума: значение функции в точке x2 больше, чем во всех достаточно близких к ней точках.

2. Точка минимума.

Касательная в точке D также горизонтальна. Поэтому f'(x3) = 0.

При переходе через точку x3 убывание функции сменяется возрастанием, т. е. производная меняет знак с (—) на (+).

Точка x3 является точкой минимума: значение функции в точке x3 меньше, чем во всех достаточно близких к ней точках.

Точки максимума и минимума функции называются точками экстремума.

3. Седловая точка.

Касательная в точке E горизонтальна, f '(x4) = 0.

При переходе через точку x4 смены тенденции не происходит: функция как возрастала, так и продолжает возрастать. Производная не меняет своего знака.