Применение математических методов в биологии и медицин

Малая академия наук

МБОУ «Южно - Российский лицей казачества и народов Кавказа»

г. Железноводск

Применение математических методов

в биологии и медицине

Секция математики

Автор проекта

МБОУ СОШ № 1 г. Минеральные Воды, 9А класс

Научный руководитель

учитель математики МБОУ СОШ № 1 г. Минеральные Воды

2017 год

Оглавление

№ п/п	Наименование разделов	Номера страниц
1	Введение	3
2	Взаимосвязь двух наук	3
3	Математика в биологии. Золотое сечение в природе Золотое сечение в природе	4 - 5
4	Появление новых дисциплин	6
5	Математика в медицине. Теория вероятностей и медицина	7
6	Математическая статистика и медицина	8 - 9
7	Практическая реализация проекта	10 - 11
8	Заключение	12
9	Список литературы	13

Великая книга природы написана математическими символами,

и надо уметь её читать. Г. Галилей

Введение

После окончания школы я планирую связать свою жизнь с медициной. Поэтому уже сейчас стараюсь глубже изучать профилирующие для медика школьные дисциплины: химию и биологию. Вместе с тем, при изучении школьной программы мне очень нравится математика. Мне стало интересно, возможно ли совместить математику с медициной и биологией в частности. Поэтому я провела небольшое исследование, с результатами которого хочу Вас познакомить.

Предметом моей работы стала непосредственная связь биологической и математической науки, и практическое приложение математических методов при проведении медицинских исследований состояния здоровья группы людей. В ходе исследования была изучена необходимая литература о взаимосвязи биологии, медицины и математики, проведена практическая работа и подготовлена презентация.

Практическое приложение исследования - мониторинг уровня физиологического состояния подростков, проведённый с целью определения параметров их здоровья. Статистические данные для моей работы получены при обследовании учащихся 9 А класса нашей школы.

Взаимосвязь двух наук

Математика... Для кого-то она царица наук, для кого-то нечто непостижимое и непонятное. Ее можно любить и ненавидеть! Но можно ли без нее обойтись?

Проникновение точных математических методов в самые различные области знаний: экономику, лингвистику, психологию, искусство и т. д. произошло не вчера. Даже философия и та оказалась сводной сестрой математики - и та и другая оперируют абстрактными понятиями.

Предлагаю рассмотреть, казалось бы, несовместимые вещи: математика и биология.

В биологию - науку о живой природе, математика входит различными путями: использование современной вычислительной техники для быстрой обработки результатов биологического эксперимента, и создание математических моделей, описывающих различные живые системы и происходящие в них процессы. Не менее важна и «обратная связь», возникающая между математикой и биологией: биология не только даёт возможность для применения математических методов, но и становится источником новых математических задач.

Также как и математика, биология долго была описательной наукой, собранием более или менее систематизированных результатов наблюдений и экспериментов. Со временем стали обнаруживаться глубокие связи между явлениями, которые прежде представлялись обособленными. Например, обмен веществ, наследственность, морфогенез и эволюция оказались тесно связанными, причем биология приблизилась к пониманию механизмов, лежащих в основе этих связей. Это, в свою очередь, привело к стремлению выявить общие принципы функциони­ –

рования биологических систем, понять сущность жизни. Все это - предпосылки к созданию теоретической биологии, и к необходимости применения в биологии математических методов.

Так же и в исследованиях взаимоотношений между популяциями животных, образующими сообщество, в изучение динамики численности популяций давно вошли математические методы.

Таким образом, для всей биологии в целом стало уже традиционным применение математи - ческой статистики, различных методов математической обработки результатов эксперимента. Все эти направления, не только интересны и важны, но и весьма результативны.

Математика в биологии

Биология широко использует математический аппарат при проведении тех или иных исследований. Любое исследование предполагает статистическую обработку результатов: ранжирование, построение графиков и диаграмм, подсчёт среднего арифметического, среднеквадратичного отклонения, процентной доли, коэффициентов корреляции. При изучении генетических законов, решении задач по генетике, биохимии и популяционной генетике математический аппарат необходим как при освоении теоретического материала, так и при решении конкретных задач.

Золотое сечение в природе

На уроках ботаники мы обращаем внимание на то, что очередное листорасположение подчиняется правилу золотого сечения: дробь, числитель которой — это число оборотов на стебле, а знаменатель — число листьев в цикле, соответствует рядам Фибоначчи, например, 3/8 или 5/13. Логарифмическую спираль можно обнаружить в расположении семян в корзинках сложноцветных, чешуй — в шишках голосеменных, колючек на стебле кактусов. Во всех этих случаях спирали заворачиваются навстречу друг другу, а число правых и левых спиралей всегда относится друг к другу как соседние числа в ряду Фибоначчи.

Переходя к курсу зоологии, мы вновь сталкиваемся с логарифмической спиралью в строении раковины моллюска. По законам золотого сечения построены тела бабочек, стрекоз и ящериц, этому же правилу подчиняется форма яиц птиц. Та же логарифмическая спираль обнаруживается и в строении костного лабиринта (улитки) внутреннего уха.

Золотую пропорцию можно обнаружить в строении человеческого тела и в чертах лица. Но не только в анатомии можно увидеть золотую пропорцию. Отношение продолжительности систолы и диастолы* сердечного цикла также составляет дробь из соседних чисел ряда Фибоначчи. Чем больше сердечный ритм отклоняется от идеальной частоты, тем больше энергетические затраты организма и тем ниже эффективность работы сердца. В курсе общей биологии обязательно отмечается, что двойная спираль молекулы ДНК почти полностью соответствует числам ряда Фибоначчи.

* Систолическое(верхнее) артериальное давление – это давление крови в артериях в момент систолы (сокращения) сердца.  Диастолическое(нижнее) давление – это давление, которое поддерживается в сосудах в момент расслабления(диастолы) сердца.

Таким образом, при изучении курса биологии мы имеем возможность с математической точностью обосновать гармоничность природы и единство всех проявлений жизни.

Появление новых дисциплин

За последние десятилетия на стыках разных наук появились направления в биологии, где математика применяется давно и, причем, весьма успешно. Прежде всего, это биофизика, биохимия и молекулярная биология.

Если биологи ищут в технических дисциплинах идеи и методы, пригодные для изучения биологических процессов управления, то инженеры, исследуя биологические процессы и системы, стремятся найти новые принципы, которые можно было бы использовать в технике.

Очевидно, что миллионы лет эволюции должны были привести к отбору оптимальных вариантов, инженеры ищут способы использовать эти «находки природы» в вычислительной технике, системах управления и т. д. Это направление, получившее название «бионики», привлекло к биологии людей с физико-математическим образованием. Кроме того, большое число таких специалистов пришло в биологию в связи с появлением новой аппаратуры, новых методов исследования. В современной биологической лаборатории стали обычными усилители и осциллографы, электронные микроскопы, ультрацентрифуги и т. п. Для обслуживания этих приборов необходимы высококвалифицированные инженеры. В результате в биологию пришли люди, для которых математика весьма привычна.

Могу сделать вывод, что в результате развития так называемых «пограничных» наук (биофизики, биохимии, бионики), возникновения сходных направлений в биологии и в технике (проблемы управления), а также развития инженерно-технических методов исследования биологических объектов биологам приходится работать бок о бок с физиками, инженерами и математиками.

Математика в медицине

Теория вероятностей и медицина

В одном из учебников математики я нашла и решила задачу, в которой медицинские проблемы решаются с помощью формулы полной вероятности.

Задача:

Каждый человек имеет одну из четырёх групп крови. Переливание крови осуществляется при условии, что номер группы донора не превосходит номера группы реципиента. Среди всего населения 1-я, 2-я, 3-я и 4-я группы составляют соответственно 30%, 40%, 20% и 10 %. Найти вероятность того, что реципиенту, имеющему 2 группу, можно перелить кровь от случайно взятого донора.

Решение:

Событие А - реципиенту, имеющему 2 группу, можно перелить кровь от случайно взятого донора. Рассмотрим 4 гипотезы (так как среди населения 4 группы крови):

H 1 – донор имеет первую группу, таких людей 30%, следовательно, вероятность P(H1) = 0,3;

H 2 – донор имеет вторую группу, таких людей 40%, следовательно, вероятность P(H2) = 0,4;

H 3 – донор имеет третью группу, таких людей 20%, следовательно, вероятность P(H3) = 0,2;

H 4 – донор имеет четвёртую группу, таких 10%, следовательно, вероятность P(H4) = 0,1.

Так как номер группы донора не должен превосходить номера группы реципиента, то переливание возможно только для 1 и 2 группы.

То есть условные вероятности P(А/H1)=1, P(А/H2)=1, P(А/H3)=0 , P(А/H4)=0.

По формуле полной вероятности для 4-х гипотез

P(А)= P(H1)* P(А/H1)+ P(H2)* P(А/H2)+ P(H3)* P(А/H3)+ P(H4)* P(А/H4);

получаем P(А)=0,4*1+0,3*1+0,2*0+0,1*0 = 0,7

Ответ: вероятность составит 70%.

Своеобразие возникающих задач – одна из основных причин интереса, проявляемого биологами к математике.

Математическая статистика и медицина

Физическое развитие детей и подростков, является одним из важнейших показателей здоровья. Уровень физического состояния зависит как от унаследованных особенностей организма, так и от комплекса природных и социальных факторов: режима питания, двигательной активности, физического воспитания, перенесенных заболеваний. Организм здоров, если показатели его функций не отклоняются от среднего (нормального) состояния. Колебания в пределах верхней и нижней границ нормы расцениваются как допустимые.

На основании проведенных измерений у моих одноклассников рассчитан их уровень физического состояния. В своих расчётах я применяла «Методику определения физического здоровья», разработанную врачом в 1986 г. Этот метод позволяет производить экспресс-оценку уровня физического состояния (УФС) по показателям системы кровообращения подростков 14 - 16 лет.

В математической статистике для оценки влияния нескольких независимых показателей на конечный зависимый показатель применяется метод регрессионного анализа. Регрессия — зависимость среднего значения какой – либо случайной величины от некоторой другой величины или нескольких величин. Уравнение, связывающее эти величины, называется уравнением регрессии Y = a0 + a1x a0, a1 – коэффициенты регрессии  - параметры, которые оцениваются из статистических данных. В случае же совместного влияния на Y нескольких факторов (x1, x2,… xn ) уравнение принимает вид Y = a0 + a1x1 +…anxn В уравнении регрессии зависимости могут быть найдены статистическими методами между связанными друг с другом величинами. При составлении уравнений регрессии надо следить, чтобы были использованы именно те метрические единицы, которые указаны в уравнении, иначе будут ошибки.  2. Одни и те же зависимости могут быть выражены различными уравнениями. Некоторые уравнения могут быть весьма приблизительными.

Расчёт уровней физиологического состояния человека

Математическое выражение уровня физиологического состояния (УФС) человека имеет следующий вид:

(уравнение№1)

Чтобы определить уровень физиологического состояния своего организма в покое, надо знать следующие показатели:

- частоту сердечных сокращений ЧСС (в 1 минуту),

- среднее артериальное давление АДср (мм. рт. ст.),

- возраст (число полных лет),

- массу тела (кг),

- рост (см).

Среднее артериальное давление определяется по формуле:

(уравнение№2)

где: А Дсист - систолическое давление; АДдиаст - диастолическое давление.

Пример расчёта УФС (на моих собственных данных)

1. ЧСС - 79 ударов в минуту;
2. АДср 122/971 мм. рт. ст. = 88,0; 3. Возраст - 15 лет; 4. Масса тела – 50 кг.; 5. Рост - 163 см.

Подставляя имеющиеся значения в уравнение № 2, рассчитаю мой УФС – 0,532 Полученное число нужно оценить по таблице:

УФС	юноши	девушки
1 (низкий)	0,225—0,375	0,157—0,260
2 (ниже среднего)	0,376—0,525	0,261—0,365
3 (средний)	0,526—0,675	0,366—0,475
4 (выше среднего)	0,676—0,825	0,476—0,575
5 (высокий)	0,826 и более	0,576 и более

следовательно, уровень моего физиологического состояния по шкале регрессии

– выше среднего.

Практическая реализация проекта

Определение антропометрических показателей учащихся

На основе полученных данных и по результатам расчётов получены следующие результаты:.

Уровень физиологического состояния

учащихся 9 А класса МБОУ СОШ № 1 г. Минеральные Воды

	ЧСС	А Д	АД	АДср	Возраст	Масса	Рост	УФС	по шкале
сист	диаст	тела	расч	регрессии
	90	110	75	86,67	15	51	1,6	0,601	высокий
	74	115	68	83,67	15	56	1,71	0,784	выше среднего
	89	100	66	77,33	15	67	1,74	0,700	высокий
	88	90	66	74,00	15	60	1,74	0,730	высокий
	80	115	70	85,00	15	63	1,75	0,721	выше среднего
	86	105	69	81,00	15	58	1,62	0,691	высокий
	93	107	82	90,33	16	53	1,7	0,540	выше среднего
	77	122	73	89,33	15	70	1,74	0,722	выше среднего
	78	110	53	72,00	16	54	1,55	0,835	высокий
	93	108	70	82,67	15	74	1,87	0,625	средний
	75	126	68	87,33	15	70	1,75	0,757	выше среднего
	96	120	78	92,00	15	50	1,63	0,499	средний
	99	124	88	100,00	15	50	1,6	0,406	средний
	95	110	62	78,00	15	55	1,62	0,626	средний
	72	106	77	86,67	15	69	1,65	0,791	выше среднего
	104	120	78	92,00	16	61	1,74	0,427	ниже среднего
	86	94	56	68,67	15	55	1,74	0,788	высокий
	74	111	66	81,00	16	52	1,74	0,800	выше среднего
	96	122	71	88,00	15	50	1,63	0,532	выше среднего
	98	116	72	86,67	15	52	1,72	0,525	ниже среднего
	86	119	79	92,33	16	62	1,79	0,600	средний
	96	125	80	95,00	15	68	1,63	0,492	средний
	91	99	71	80,33	15	52	1,62	0,643	средний

Вывод: около 9 % моих одноклассников отстает по физиологическим показателям от нормы.

С результатами своих исследований я познакомила одноклассников в ходе классного часа, посвященного режиму дня в условиях подготовки к сдаче выпускных экзаменов. Анализ числителя в уравнении регрессии показывает, что для повышения уровня физиологического состояния необходимо снижать частоту сердечных сокращений и среднего давления в состоянии покоя организма. Понижению частоты сердечных сокращений способствуют занятия спортом, особенно если человек тренируется на выносливость. Интенсивные, но короткие физические нагрузки дают меньший эффект. У юношей 15 лет, частота сердечных сокращений составляет 76 ударов в минуту. Скоростно - силовые виды спорта снижают эту цифру до 75 ударов в минуту, а спортивные игры – до 72 ударов в 1 минуту. Большое значение имеет и интенсивность тренировок. Если во время нагрузок частота пульса поднимается до 100 - 120 ударов в минуту, тренировочный эффект обычно бывает небольшим, а работа средней интенсивности, поднимающая пульс до 130 - 170 ударов в минуту, уже дает хороший эффект.

С полученными данными ознакомлена медицинский работник нашей школы , результаты будут использованы при оформлении листа здоровья класса на следующий учебный год.

Заключение

На примере проведённого обследования видно, что математический метод помогает в выявлении людей, которым нужно обратить внимание на состояние своего здоровья. Родители учеников и медицинские работники смогут внести коррективы в образ жизни ребёнка, что будет способствовать всестороннему развитию личности.

Применение математики для биологии состоит не только в практическом приложении, но и в возможности абстрактно подойти к решению сложнейших проблем и обнаружить связи между принципиально различными явлениями и процессами. Каждое явление реального мира можно исследовать математически. Математики в сотрудничестве с представителями естественных наук разработали и развили разнообразные приёмы исследований – вычислительные, алгебраические, статистические. Математические методы анализа и синтеза, помогают изучать законы развития живой природы. Область применения математики при изучении биологии чрезвычайно велика; знания, полученные на уроках, обязательно пригодятся при изучении других предметов.

В процессе работы над этим проектом мной был проведён опрос учащихся 8 – 11 классов. Опрошено 30 человек. Респондентам предложено ответить на 2 вопроса:

1. Как вы считаете, есть ли связь между математикой и биологией?	2. Математика в биологии нужна только для статистики или для создания новых разделов науки?
Анализ ответов:	Анализ ответов:

В результате своей работы я убедилась в правоте слов Чарлза Дарвина, учёного, внёсшего значительный вклад в биологию:

«У людей, усвоивших великие принципы математики, одним органом чувств больше, чем у простых смертных».

Список литературы:

1.	Большая энциклопедия природы. Т. 16.Чудеса природы. М: книги», 2003.
2.	Васильева связи школьного курса биологии // материалы III Междунар. науч. конф. (г. Москва, июнь 2013 г.). — М.: Буки-Веди, 2013. — С. 72-75.
3.	нциклопедический словарь школьника. – М: ОЛМА-ПРЕСС, 2000.
4.	Математическая статистика в биологии , (2007)
5.	Реймерс биологические понятия и термины. – М: Просвещение, 1988.
6.	«Интеграционный подход в обучении», газ. «Первое сентября», №7/2006
7.	Сидоров вычисления в биологии. Учебн. М. Энтропос-2013г.
	интернет – ресурсы:
8.	http://psihdocs. ru/razvitie-gigieni. html
9.	http://www. med74.ru/articlesitem993.html
10.	http://www. medchitalka. ru/regimen/run/aktivnost/23932.html
11.	https://drofa-ventana. ru/files/present/2013-06-28_Gavrilova
12.	http://dic. academic. ru/dic. nsf/ruwiki/657479