Алгебра логики (стр. 5 )

№ 3

В каком из случаев верно построено отрицание высказываний:

1)Все птицы имеют черную окраску - Все птицы не имеют черную окраску.

2)Все учащиеся сдали экзамен по математике - Некоторые учащиеся не сдали экзамен по математике.

3)Все учащиеся сдали экзамен по математике - Не все учащиеся сдали экзамен по математике.

№4.

Определите значение истинности следующих высказываний:

1) Луна - планета и 2 + 3 = 5.

2) Луна - планета или 2 + 3 = 5.

3) 1 - простое число и 2 - простое число.

4) 1 - простое число или 2 - простое число.

5) Кислород - металл и 2 * 2 = 5.

6) Кислород - металл или 2 * 2 = 5.

7) Данное число четно или число, большее его на единицу, четно.

8) Данное число четно и число, большее его на единицу, четно.

9) Две прямые на плоскости параллельны или пересекаются.

10) Две прямые на плоскости параллельны и пересекаются.

11) Каждое число делится на 2 или делится на 3.

12) Произвольно взятое число либо делится на 2, либо делится на 3.

13) Эйфелева башня находится в Париже или она находится в Нью-Йорке.

14) Либо Эйфелева башня находится в Париже, либо она в Нью-Йорке.

№5.

Пусть высказывание А - «эта ночь звездная», В - «эта ночь холодная». Выразите следующие формулы на обычном языке:

1) А \/ В

2) A /\ В

3) A \/ B

4) А /\B

5) A \/ В

№6.

Выделите в составных высказываниях простые. Обозначьте каждое их них буквой; запишите с помощью логических операций каждое составное высказывание.

1) Число 376 четное и трехзначное.

2) Неверно, что Солнце движется вокруг Земли.

№7.

Найдите значения логических выражений:

  1)(1\/1) /\ (1\/0);

  2)((1\/0) \/1) \/1;

  3)(0\/1) /\ (1\/0);

  4)(0/\1)/\1;

  5) 1/\(1/\1)/\1;

  6)((1\/0)/\(1/\1))/\(0\/1);

  7)((1/\0) \/ (1/\0)) \/1;

  8)((1/\1) \/0)/\(0\/1);

  9)((0/\0) \/0)/\(1\/1).

№8.

Даны два простых высказывания: А = {2 * 2 = 4}, В = {2 + 2 = 5}.

Какие из составных высказываний истинны:

1)A;

2)B;

3)А /\ В;

4)A \/ В.

№9.

Определите значения логических переменных a, b, c, d, если:

1)а и (Марс - планета) – истинное высказывание;

2)bи (Марс - планета) – ложное высказывание;

3)с или (Солнце – спутник Земли) – истинное высказывание;

4)dили (Солнце – спутник Земли) – ложное высказывание.

Ответы:

Ответы

№1.

Марина и Оля старше Светы. Марина или Оля старше светы.

Синий клубок меньше красного и зеленого. Синий клубок меньше красного и зеленого.

X больше или равен 3. X больше и равен 3.

В портфеле есть учебники, тетради и пенал. В портфеле есть или учебники, или тетради, или пенал.

Одна половина класса изучает английский и вторая часть изучает немецкий язык.

Часть туристов любит чай или молоко. Часть туристов любит чай и молоко.

№2.

В книге не более ста страниц.

Слово «стол» не существительное.

Алеша не моложе Тани.

Неверно, что в книге более ста страниц.

№3.

Ответ: 3

№4.

Истина – 2, 3, 4, 7, 9, 13, 14

Ложь - 1, 5, 6, 8, 10, 11, 12

№5.

1)Эта ночь звездная или холодная

2)Эта ночь не звездная, а холодная

3)Эта ночь не звездная или не холодная

4)Эта ночь звездная и не холодная

5)Эта ночь не звездная или холодная

№6.

1)A={ Число 376 четное }

B={ Число 376 трехзначное }

A /\ B

2)A={Солнце движется вокруг Земли }

A

№7.

1)1 2) 1 3) 1 4) 0 5) 1 6) 1 7) 1 8) 1 9) 0

№8.

Ответ: 4

№9.

a, c – истина (1); b, d – ложь (0)

Логические функции

Импликация (логическое следование) - это логическая операция, ставящая в соответствие каждым двум простым высказываниям составное высказывание, являющееся ложным тогда и только тогда, когда условие (первое высказывание) истинно, а следствие (второе высказывание) ложно.

·в естественном языке - если..., то...; когда …,тогда;коль скоро…,то и т. п.;

  ·обозначения=>

Например, дано сложное высказывание: «Если выглянет солнце, то станет тепло». Для того, чтобы преобразовать высказывание к логической формуле, необходимо выделить простые высказывания: А = «выглянет солнце»,В = «станет тепло».

Тогда логическая форма имеет вид А => В.

Эквивалентность (равнозначность) – это логическая операция, ставящаяв соответствие каждым двум простым высказываниям составное высказывание, являющееся истинным тогда и только тогда, когда оба исходных высказывания одновременно истинны или одновременно ложны.

·в естественном языке - тогда и только тогда; в том и только в том случае;если и только если;

·обозначения<=>, ~.

  Например, дано сложное высказывание: «Людоед голоден тогда и только тогда, когда он давно не ел». Чтобы преобразовать его к логической формуле, необходимо выделить простые высказывания А = «людоед голоден», В = «он давно не ел».

Тогда логическая формула имеет вид А <=>В.

 Приоритет логических операций: действия в скобках, , /\, \/,=>

№1.

Запишите в виде логической формулы следующие высказывания:

1. Если Иванов здоров и богат, то он здоров.

2. Число является простым, если оно делится только на единицу и само на себя.

Решение:

1.Нам дано сложное составное высказывание. Выделим из него простые высказывания:

А = «Иванов здоров»

В = «Иванов богат»

Запишем высказывание в виде логической формулы A/\B=>A

2. Нам дано сложное составное высказывание. Выделим из него простые высказывания:

А = «Число является простым»

В = «Число делится только на единицу»

С=«Число делится на само себя»

Запишем высказывание в виде логической формулы B/\C=>A

 

№2.

Для какого имени истинно высказывание:

(Первая буква имени гласная => Четвертая буква имени согласная)?

  1) Елена       2) Вадим     3) Антон      4) Федор

Решение:

 

F(A, B) =  (A=> B)

По условию задачи функция F(A, B) истинна, следовательно, отрицание этой функции – ложно, т. е. высказывание (A=>B) – ложно. Полученное высказывание является импликацией и ложно только в том случае, когда выражение А истинно, а В -  ложно (см. табл. истинности импликации). Следовательно, среди предложенных ответов следует искать тот, в котором первая буква имени гласная  и четвертая буква имени также гласная. Этому условию удовлетворяет только имя АНТОН.

 Ответ: 3

№ 3.

   Для какого числа X истинно высказывание X>1 /\ ((X<5) => (X<3))

 1)  1  2) 2  3) 3  4) 4

Решение:

По условию задачи F(A, B) истинна, следовательно, выражения А и В тоже должны быть истинны(см. табл. истинностиконъюнкции), т. е. 

Рассмотрим предложенные ответы, подставляя значения Х в неравенства и проверяя истинность полученных высказываний:

Ответ 1): 1 > 1 – ложь, что противоречит первому условию;

Ответ 2): 2 > 1 – истина, первое условие совпадает,

(2<5) => (2<3), или (истина) => (истина), что является истиной (см. табл. истинности импликации). Т. е. второе условие также совпадает;

Ответ 3): 3 > 1 – истина, первое условие совпадает,

(3<5) => (3<3)  или (истина) => (ложь), что является ложью (см. табл. истинности импликации), это противоречит второму условию;

Ответ 4): 4 > 1 – истина, первое условие совпадает,

(4<5) => (4<3)  или (истина) => (ложь), что является ложью (см. табл. истинности импликации), это противоречит второму условию

Ответ: 2