Линейная алгебра Лабораторные работы 8 -13 (стр. 2 )

2.В пространстве многочленов, степени которых не превосходят 2, найти матрицу перехода от базиса x2+3x–2, 3x–1,5 к базису 1, x, x2+3.

3. Матрица Т является матрицей перехода от базиса e1, e2 к базису f1, f2. Найти координаты векторов e1, e2, c=2e1+3e2 в базисе f1, f2.

.

ВАРИАНТ 3

1.Даны два базиса линейного пространства A3:

1) e1=(1,1,1), e2=(2,1,1), e3=(1,0,1) и

2) f1=(0,1,1), f2=(1,0,1), f3=(1,0,2). Найти матрицу перехода от базиса (1) к базису (2), и наоборот.

2.Найти координаты многочлена f(x)=x2+8x–24 в базисе 3x2+2x–1, 3x+4, x2+3x–2.

3.Убедиться, что многочлены 2, x–3, (2–x)2, (x+4)3 составляют базис пространства P3. Найти матрицу перехода от базиса 1, x, x2, x3 к базису 2, x–3, (2–x)2, (x+4)3.

ВАРИАНТ 4

1.Даны два базиса линейного пространства: e1=(1,2), e2=(2,3) и e1’=(4,5), e2’=(1,1). Найти связь координат одного и того же вектора в этих базисах.

2.Убедиться, что многочлены f1=x2–3x+1, f2=4x+3x2, f3=x2 составляют базис линейного пространства многочленов, степени которых не превосходят 2. Найти координаты многочлена g(x)=5x2–5x+3 в этом базисе.

3.Убедиться, что многочлены 2, x–3, (x–2)2 составляют базис пространства P2. Найти матрицу перехода от базиса 2, x–3, (x–2)2 к базису 1, x, x2.

ВАРИАНТ 5

1.Найти связь координат одного и того же вектора в двух базисах: a1=(1,2), a2=(2,1) и b1=(2,3), b2=(4,1).

2.Найти матрицу перехода от базиса 1, x, x2, x3 к базису 4, x2+1, x3+3x–1, x3+2x–1.

3.Даны два базиса a1, a2 и b1, b2, причем a1=3b1+5b2, a2=2b1+3b2. Найти координаты вектора c=3b1+2b2 в базисе a1, a2.

ВАРИАНТ 6

1.Найти матрицу перехода от базиса a1=(1,2,3), a2=(4,0,-1), a3=(2,2,0) к базису e1=(1,0,0), e2=(0,1,0), e3=(0,0,1).

2.Найти координаты многочлена f(x)=5x2–3x+6 в базисе 4, 4x+3, x2–3x+1.

3.Найти связь координат вектора в двух базисах: a1=3+2x, a2=4+3x и e1=1–x, e2=2.

ВАРИАНТ 7

1.Убедиться, что векторы a1=(1,2,3), a2=(2,3,-1), a3=(2,0,1) образуют базис линейного пространства A3. Найти координаты вектора x=(0,-7,-3) в этом базисе.

2.В пространстве многочленов, степени которых не превосходят 2, найти матрицу перехода от базиса x, x2+2x, x2–3x+1 к базису 4, 4x–2, x2+x–3.

3.Матрица М является матрицей перехода от базиса a1=(1,2), a2=(3,2) к базису b1, b2. Найти координаты вектора c=2a1+a2 в базисе b1, b2.

.

ВАРИАНТ 8

1.Найти матрицу перехода от базиса e1’=e1, e2’=e1+e2, e3’=e1+e2+e3 к базису e1, e2, e3.

2.Убедиться, что многочлены f1=x2+3x+1, f2=–1+4x2, f3=x2–2x составляют базис пространства P2 многочленов, степени которых не превосходят 2. Найти координаты многочлена g(x)=3x2–8x–3 в этом базисе.

3.Матрица М является матрицей перехода от базиса x, 1, x2 к базису f1, f2, f3. Найти матрицу перехода от базиса f1, f2, f3 к базису x, 1, x2.

.

ВАРИАНТ 9

1.Матрица М является матрицей перехода от базиса e1, e2, e3 к базису a1, a2, a3. Найти координаты векторов e1, e2, e3 и x=e1+2e2–e3 в базисе a1, a2, a3.

.

2.Для пространства P2 многочленов, степени которых не превосходят 2, найти матрицу перехода от базиса 4x2–1, 4x+1, 3 к базису x2+2x+3, 2x, x–4.

3.Даны два базиса a1=(1,-2), a2=(3,-5) и b1=(1,1), b2=(2,3) пространства A2 двумерных векторов. Найти матрицу перехода от базиса a1, a2 к базису b1, b2.

ВАРИАНТ 10

1.Найти матрицу перехода от базиса a1=(1,2,3), a2=(2,3,-1), a3=(0,1,1) к базису b1=(2,3,1), b2=(1,1,1), b3=(-1,2,1).

2.В пространстве P2 многочленов, степени которых не превосходят 2, найти координаты многочлена f(x)=3x2+6 в базисе x2+x–1, x2+2x–3, x–3.

3.Матрица М является матрицей перехода от базиса 1, x, x2 к базису f1, f2, f3 в пространстве P2 многочленов, степени которых не превосходят 2. Найти координаты многочлена g(x)=3x2–4x+1 в базисе f1, f2, f3.

.

ВАРИАНТ 11

1.В пространстве P2 многочленов, степени которых не превосходят 2, даны два базиса: 1) x, x2+4x, 3x–1 и

2) x2–3x+1, x2+1, 3x+1. Найти матрицу перехода от

базиса (1) к базису (2).

2.Убедиться, что векторы a1=(1,2), a2=(3,5) образуют базис пространства A2. Найти координаты вектора x=(3,4) в базисе a1, a2.

3.Матрица М является матрицей перехода от базиса e1, e2, e3 к базису a1, a2, a3. Найти координаты вектора b=3a1–a2+a3 в базисе e1, e2, e3.

.

ВАРИАНТ 12

1.Матрица М является матрицей перехода от базиса e1, e2, e3 к базису a1, a2, a3. Найти координаты векторов e1, e2, e3 и вектора x=2e1–e2 в базисе a1, a2, a3.

.

2.Даны два базиса линейного пространства A2 двумерных векторов: 1) a1=(3,4), a2=(1,1) и 2) b1=(2,5), b2=(1,3). Найти матрицу перехода от базиса (2) к базису (1).

3.В пространстве многочленов P3 найти матрицу перехода от базиса 1, x, x2, x3 к базису 5, 2x–3, (x–3)2, (x+2)3.

ВАРИАНТ 13

1.Убедиться, что векторы a1=(1,2,-3), a2=(4,2,-8), a3=(1,4,-1) образуют базис линейного пространства A3. Найти координаты вектора (-1,0,5) в базисе a1, a2, a3.

2.В пространстве многочленов, степени которых не превосходят 2, найти матрицу перехода от базиса x2+3x–2, 2x–3, 3 к базису 1, 3x–2, x2–4x.

3.Даны два базиса линейного пространства A2 двумерных векторов a1=(1,2), a2=(3,5) и b1=(2,1), b2=(3,4). Найти матрицу перехода от базиса a1, a2 к базису b1, b2.

Лабораторная работа 10

МАТРИЦА ЛИНЕЙНОГО ОПЕРАТОРА.

СВЯЗЬ КООРДИНАТ ВЕКТОРА И ЕГО ОБРАЗА

Вопросы для самоконтроля:

1.Что называется линейным оператором (преобразованием) линейного пространства?

2.Дайте определение матрицы линейного оператора (преобразования) в данном базисе.

3.Как связаны матрицы линейного преобразования в разных базисах?

4.Как найти координаты образа вектора при линейном преобразовании?

5.Что такое сумма, произведение линейных операторов (преобразований), произведение линейного оператора (преобразования) на число?

6.Какова матрица суммы, произведения линейных преобразований?

ВАРИАНТ 1

1.В линейном пространстве A3 задан оператор φ такой, что для x=(x1, x2, x3): φx=(x2+x3, 2x1+x3, 3x1–x2+x3). Доказать, что φ – линейный оператор. Найти его матрицы в базисах:

1) e1=(1,0,0), e2=(0,1,0), e3=(0,0,1);

2) a1=(1,1,1), a2=(2,1,3), a3=(4,1,6).

2.Векторы a1=(2,3,5), a2=(0,1,2), a3=(1,0,0) линейным оператором φ преобразуются соответственно в векторы b1=(1,1,1), b2=(1,1,-1), b3=(2,1,2). Найти матрицу этого оператора в том базисе, в котором указаны координаты векторов ai и bi, i=1,2,3.

3.Дана матрица М линейного оператора в базисе e1, e2, e3. Найти образы векторов e1, e2, e3, a=2e1–e2+3e3.

.

ВАРИАНТ 2

1.Показать, что ортогональное проектирование трехмерного пространства V3 на ось Ox есть линейный оператор. Найти его матрицу в базисе ,,.

2.Линейное преобразование φ в базисе e1, e2, e3 имеет матрицу М. Найти матрицу этого преобразования в базисе e1’=e1, e2’=e1+e2, e3’=e1+e2+e3.

.

3.Линейное преобразование φ:L→L, dimL=2, переводит векторы a1=(1,3), a2=(2,1) соответственно в векторы b1=(0,2), b2=(1,1). Найти матрицы преобразования φ в базисах:

1) e1=(1,0), e2=(0,1);

2) a1, a2.

ВАРИАНТ 3

1.Показать, что умножение квадратных матриц второго порядка на матрицу M справа есть линейный оператор. Найти его матрицу в базисе , , , .

.

2.Пусть φ:L→L, dimL=2 – линейный оператор, имеющий в базисе g1=(1,2), g2=(2,3) матрицу М, а линейный оператор η:L→L в базисе u1=(3,1), u2=(4,2) задается матрицей N. Найти матрицы линейных операторов φ+η, φ•η в базисе g1, g2.

, .

3.Матрица М является матрицей линейного оператора φ в базисе e1, e2, e3. Найти образы векторов e1, e2, e3,

a=4e1–3e2+e3.

.

ВАРИАНТ 4

1.Дано преобразование φ линейного пространства A3, которое вектор x=(x1, x2, x3) переводит в вектор φx=(x1+x2+x3, 2x2, 3x1–x3). Доказать, что оно линейное, и найти его матрицы в базисах

1) e1=(1,0,0), e2=(0,1,0), e3=(0,0,1);

2) a1=(2,3,1), a2=(0,1,1), a3=(0,0,3).

2.Дана матрица А линейного преобразования φ пространства многочленов степени не выше 2 в базисе x2, x, 1. Найти образ вектора f(x)=x2–4x+3.

.

3.Преобразование φ в базисе a1=(-3,7), a2=(1,-2) имеет матрицу М, а преобразование ψ в базисе b1=(6,-7), b2=(-5,6) имеет матрицу N. Найти матрицу φ•ψ в том базисе, в котором даны координаты всех векторов.

, .

ВАРИАНТ 5

1.Преобразование φ пространства многочленов степени не более 3 определяется следующим образом φ(ax3+bx2+cx+d)=ax3+bx2+cx. Доказать, что оно линейно и найти его матрицы в базисах:

1) x3, x2, x, 1;

2) x3, x2–3, x+1, 2.

2.Дана матрица A линейного преобразования φ арифметического трехмерного пространства A3 в базисе a1=(2,3,0), a2=(1,1,1), a3=(0,1,1). Найти: