ВОПРОСЫ К ЭКЗАМЕНУ

по курсу «Вариационное исчисление»

2-й курс, весенний семестр 2016-2017 уч. года

1. Введение: задачи о поиске экстремума в теории управления, пример задачи оптимального управления, общее представление о вариационном исчислении.

2. Примеры содержательных задач о поиске экстремума интегрального функционала (о минимуме определенного интеграла, брахистохроне, о минимальной поверхности вращения и др.).

3. Понятие функционала. Функционалы в метрических и линейных пространствах.

4. Формализованные задачи вариационного исчисления. Пространство

: норма, метрика, близость элементов. Классификация экстремумов.

5. Элементы дифференциального исчисления в ЛНП: производная по направлению, первая вариация функционала, дифференцируемость по Гато.

6. Элементы дифференциального исчисления в ЛНП: Сильная дифференцируемость (дифференцируемость по Фреше), дифференциал Фреше линейного непрерывного функционала и функционала .

7. Условия локального экстремума функционалов в ЛНП.

8. Простейшая основная задача вариационного исчисления. Необходимое условие экстремума.

9. Основные леммы классического вариационного исчисления (Лагранжа, Дюбуа-Реймона).

10. Уравнение Эйлера (в двух формах).

11. Экстремали в регулярном и сингулярном случаях. Теорема Гильберта.

12. Случаи упрощения уравнений Эйлера.

13. Простейшая вариационная задача с подвижными границами. Выражение для дифференциала по параметру.

14. Простейшая задача с подвижными границами. Необходимые условия экстремума для случая свободных границ и условия трансверсальности.

15. Экстремали с изломами. Условия Вейерштрасса - Эрдмана.

16. Вторая вариация функционала. Основные леммы.

17. Вторая вариация функционала. Необходимое условие Лежандра.

18. Достаточные условия слабого и сильного относительного экстремума.

19. Необходимые условия Вейерштрасса сильного относительного экстремума. Принцип минимума в задачах на сильный экстремум.

20. Простейшая вариационная задача с несколькими неизвестными. Необходимое условие экстремума. Регулярные экстремали.

21. Каноническая форма системы дифференциальных уравнений Эйлера.

22. Метод (правило) множителей Лагранжа в конечномерной задаче на
условный экстремум.

23. Вариационная задача Лагранжа на условный экстремум.

24. Задача Лагранжа со связями в виде системы о. д.у. , в том числе в частной ситуации с функционалом .

25. Метод (правило) множителей Лагранжа в изопериметрических задачах.

26. Постановка простейшей задачи поиска оптимального программного

управления и её сведение к вариационной задаче на условный экстремум.

27. Два пути решения простейшей задачи оптимального программного

управления, как вариационной задачи на условный экстремум.

28. Оптимальное демпфирование переходных процессов.

29. Задача об оптимальном быстродействии.