Федеральное государственное бюджетное
образовательное учреждение высшего образования
“НАЦИОНАЛЬНЫЙ ИССЛЕДОВАТЕЛЬСКИЙ МОРДОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ИМ. Н. П. ОГАРЁВА”
ФАКУЛЬТЕТ МАТЕМАТИКИ
И ИНФОРМАЦИОННЫХ ТЕХНОЛОГИЙ
ПРОГРАММА
ГОСУДАРСТВЕННОГО ЭКЗАМЕНА ПО МАТЕМАТИКЕ НАПРАВЛЕНИЯ ПОДГОТОВКИ
02.03.01 “МАТЕМАТИКА И КОМПЬЮТЕНЫЕ НАУКИ”
САРАНСК 2016
1. Математический анализ.
1.1. Предел числовой последовательности, предел функции. Предельные точки множеств. Теорема Больцано-Вейерштрасса.
1.2. Непрерывные функции одной переменной. Свойства функций, непрерывных в точке. Свойства функций, непрерывных на множествах: теорема Вейерштрасса, теорема Больцано-Коши.
1.3. Равномерная непрерывность функции на промежутке, теорема Кантора.
1.4. Предел функции нескольких переменных в точке, предел по множеству. Непрерывность и свойства функций нескольких переменных, непрерывных на множестве.
1.5. Дифференцируемые функции одной переменной, дифференциал, условия дифференцируемости функции. Теоремы о дифференцируемых функциях: Ролля, Лагранжа, Коши.
1.6. Формула Тейлора с остаточным членом в форме Пеано, Лагранжа, Коши.
1.7. Дифференцируемость функции нескольких переменных. Полный дифференциал, условия дифференцируемости.
1.8. Определение интеграла по Риману. Условия интегрируемости. Классы интегрируемых функций.
1.9. Интеграл с переменным верхним пределом, его свойства. Формула Ньютона-Лейбница.
1.10. Приложения интеграла: вычисление площади, длины дуги, объема.
1.11. Собственные интегралы, зависящие от параметра. Непрерывность, дифференцируемость и интегрируемость по параметру.
1.12. Числовой ряд, сходимость и сумма ряда. Критерий Коши сходимости числового ряда.
1.13. Знакопостоянные ряды. Признаки сравнения, интегральный признак. Гармонический ряд.
1.14. Признак Лейбница сходимости знакочередующегося ряда, оценка остатка ряда лейбницевского вида.
1.15. Функциональные последовательности и ряды. Равномерная сходимость, критерий Коши равномерной сходимости, признак Вейерштрасса равномерной сходимости функционального ряда.
1.16. Степенной ряд в комплексной области. Первая теорема Абеля. Круг сходимости. Формула Коши-Адамара.
1.17. Непрерывность суммы степенного ряда. Дифференцирование и интегрирование степенного ряда.
1.18. Кратные интегралы Римана, условия интегрируемости. Сведение кратного интеграла к повторному. Замена переменных в кратном интеграле.
1.19. Криволинейные интегралы первого и второго рода, их выражение через определенный интеграл.
1.20. Формула Грина о связи между двойным и криволинейным интегралами. Условия независимости криволинейного интеграла от пути.
1.21. Ортогональные системы функций. Коэффициенты Фурье по ортогональной системе. Неравенство Бесселя, равенство Парсеваля. Понятие полноты и замкнутости ортогональных систем функций.
1.22. Ряд Фурье по тригонометрической системе периода 
.
2. Комплексный анализ.
2.1. Дифференцируемые функции комплексного переменного. Условия Коши-Римана. Геометрический смысл производной функции комплексного переменного.
2.2. Интегральные теоремы. Интегральная формула Коши.
2.3. Бесконечная дифференцируемость голоморфных функций. Теорема Вейерштрасса о голоморфности суммы ряда.
2.4. Классификация изолированных особых точек аналитической функции. Теорема Сохоцкого (без доказательства).
2.5. Ряд Лорана. Теорема Лорана о разложении функции, аналитической в кольце, в ряд Лорана.
2.6. Понятие вычета, его вычисление в полюсе. Основная теорема Коши о вычетах. Вычисление определенных интегралов с помощью вычетов.
3. Функциональный анализ.
3.1. Измеримые функции действительного переменного. Сходимость почти всюду, сходимость по мере. Их свойства.
3.2. Интеграл Лебега от ограниченной функции действительного переменного. Сравнение интегралов Римана и Лебега.
3.3. Банаховы пространства. Гильбертовы пространства.
3.4. Линейный оператор, действующий из нормированного пространства в нормированное. Ограниченность и непрерывность линейного оператора.
3.5. Норма линейного ограниченного оператора. Пространство линейных ограниченных операторов.
3.6. Принцип сжимающих отображений. Теорема Банаха о неподвижной точке.
4. Математическая логика и теория алгоритмов.
4.1. Отношение семантического следования и метод резолюций в логике высказываний.
4.2. Отношение выводимости в логике предикатов и теорема дедукции.
4.3. Машины Тьюринга и функции вычислимые на них.
4.4. Разрешимые и неразрешимые множества. Теорема о неразрешимости проблемы самоприменимости машин Тьюринга.
5. Дискретная математика.
5.1. Функции булевой алгебры, и их реализация формулами СДНФ и СКНФ.
5.2. Замкнутые классы. Критерий полноты.
5.3. Оценки сложности ДНФ. Сокращенные, тупиковые, минимальные дизъюктивные нормальные формы, и алгоритмы их построения.
5.4. Графы. Матричное представление графов. Остов минимального веса и алгоритмы их нахождения.
5.5. Сети и потоки в сетях. Теорема Форда-Фалкерсона (без доказательства).
5.6. Алфавитное кодирование. Алгоритмы построения оптимальных кодов и близких к оптимальным кодам. Самокорректирующиеся коды.
6. Аналитическая геометрия.
6.1. Геометрический смысл уравнений и неравенств 1-ой степени (линейных) в 
и 
.
6.2. Прямолинейные образующие однополостного гиперболоида и седла.
7. Линейная алгебра и геометрия.
7.1. Линейное пространство, основные примеры (геометрические, матричные, функциональные). Линейная зависимость, размерность, базис, разложение вектора по базису. Замена базиса и преобразование координат вектора. Изоморфизм линейных пространств.
7.2. Линейные отображения (морфизмы) и линейные операторы, их матрицы, матричное и координатное представление, преобразование матрицы линейных операторов при замене базиса. Основные понятия – 
, 
, 
, 
и утверждения о них.
7.3. Собственные векторы и собственные значения линейных операторов, инвариантные подпространства.
7.4. Общая теория линейных систем алгебраических уравнений (теорема Кронекера-Капелли, связь решений неоднородной и соответствующей однородной систем, фундаментальная система решений).
7.5. Билинейные и квадратичные формы, их матричные и координатные представления. Преобразования матриц билинейной и квадратичной форм при замене базиса. Полярные билинейная и квадратичная формы.
7.6. Евклидово линейное пространство. Неравенство Шварца-Коши-Буняковского. Примеры задания евклидовой структуры в пространствах матриц и вещественных функций 
. Матрица и определитель Грама.
7.7. Ортогональные преобразования 
, их свойства и классификация в и .
7.8. Самосопряженные операторы, их свойства.
8. Дифференциальная геометрия.
8.1. Задание линии в , натуральная параметризация и ее свойства. Вектор кривизны и кривизна линии.
8.2. Задание поверхности в , касательная плоскость и нормаль. Первая квадратичная форма и ее применения. Изометрическое преобразование поверхности (изгибание), основные инварианты.
8.3. Вторая квадратичная форма поверхности. Нормальная кривизна линии на плоскости. Главные, полная и средняя кривизны.
9. Компьютерная геометрия и геометрическое моделирование.
9.1. Сплайны (кубический, Эрмита, Ньютона, Лагранжа).
9.2. Кривые Безье.
9.3. Представление кривых второго порядка кривыми Безье.
10. Фундаментальная и компьютерная алгебра.
10.1. Определения группы, кольца, поля; основные утверждения; примеры этих структур на 
, 
, 
, 
, 
, множестве числовых функций, множестве геометрических и других преобразований.
10.2. Делители нуля в кольце. Гомоморфизмы и изоморфизмы алгебраических структур.
10.3. Кольцо многочленов от одной и нескольких переменных над данным кольцом или полем.
10.4. Теорема делимости многочленов (теорема о делении с остатком, НОД, НОК, алгоритм Евклида, критерий взаимной простоты).
10.5. Корни многочлена. Теорема Безу и её следствие. Схема Горнера. Кратность корня, выделение кратных множителей. Многочлены, неприводимые над 
и 
.
10.6. Корни из единицы над полем , их свойства (группы, первообразные корни, цикличность). Основная теорема алгебры (без доказательства).
10.7. Поле частных кольца многочленов. Разложение дроби на простейшие.
10.8. Симметрические многочлены от 
неизвестных, основная теорема.
11. Теория чисел.
11.1. Алгоритм Евклида.
11.2. Мультипликативные функции. Число и сумма делителей натурального числа, функции Мёбиуса и Эйлера. Теорема Эйлера.
11.3. Сравнения первой степени. Системы сравнений первой степени. Китайская теорема об остатках.
11.4. Сравнения любой степени по составному модулю.
11.5. Сравнения второй степени. Символ Лежандра. Закон квадратичной взаимности Гаусса.
12. Дифференциальные уравнения.
12.1. Фундаментальная система решений линейной однородной системы дифференциальных уравнений. Теорема об общем решении линейной однородной системы дифференциальных уравнений.
12.2. Теорема об общем решении линейной неоднородной системы дифференциальных уравнений. Метод вариации произвольных постоянных нахождения частного решения.
12.3. Линейные системы с постоянными коэффициентами. Метод Эйлера. Матричный метод.
12.4. Теорема существования и единственности решения задачи Коши для нормальной системы дифференциальных уравнений.
12.5. Автономные системы на плоскости. Типы точек покоя.
12.6. Устойчивость по Ляпунову линейных однородных систем. Теоремы об устойчивости, асимптотической устойчивости, неустойчивости.
12.7. Устойчивость линейных систем дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами.
12.8. Устойчивость по первому приближению. Второй метод Ляпунова.
13. Уравнения с частными производными (гиперболические,
эллиптические, параболические).
13.1. Характеристический конус волнового уравнения. Теорема единственности решения задачи Коши для волнового уравнения.
13.2. Пример на применение метода Фурье к смешанной краевой задаче для одномерного волнового уравнения.
13.3. Решение задачи Дирихле для уравнения Лапласа в шаре методом функций Грина. Ядро Пуассона.
13.4. Решение задачи Коши для уравнения теплопроводности с помощью преобразования Фурье.
14. Теоретическая механика.
14.1. Материальная точка и абсолютно твердое тело. Простейшие движения твердого тела. Формулы Эйлера и Ривальса. Разложение движения твердого тела на простейшие.
14.2. Законы Ньютона. Принцип детерминированности Ньютона – Лапласа. Постановка задач динамики материальной точки в случае свободного и несвободного движения.
14.3. Работа силы (элементарная и вдоль траектории). Кинетическая энергия материальной точки, теорема о ее изменении. Закон сохранения полной механической энергии.
14.4. Механическая система. Свойства внутренних сил. Теоремы о движении центра масс, изменении импульса, момента импульса и кинетической энергии системы.
14.5. Принцип виртуальных перемещений. Общее уравнение динамики. Уравнения Лагранжа второго рода и функция Лагранжа.
14.6. Вариационные принципы механики. Принцип стационарного действия. Вывод уравнений Лагранжа второго рода из принципа стационарного действия.
15. Стохастический анализ.
15.1. Случайная величина (одномерная и двумерная). Числовые характеристики.
15.2. Функция распределения вероятностей одномерной и двумерной случайной величины и ее свойства.
15.3. Статистические оценки неизвестных параметров распределения. Методы нахождения точечных оценок.
16. Методы оптимизации.
16.1. Простейшая задача вариационного исчисления.
16.2. Изопериметрическая задача.
16.3. Постановка основной задачи оптимального управления. Принцип максимума Понтрягина.
16.4. Основная задача выпуклого программирования. Теорема Куна-Таккера.
17. Численные методы.
17.1. Интерполяционный полином Лагранжа и оценка его остаточного члена.
17.2. Метод итерации решения систем линейных алгебраических уравнений. Условия сходимости.
17.3. Метод итерации решения скалярного уравнения. Оценка сходимости.
17.4. Метод итерации отыскания собственных значений и собственных векторов матриц. Сходимость.
17.5. Метод сеток решения краевой задачи для обыкновенного дифференциального уравнения. Устойчивость разностной схемы.
17.6. Метод сеток решения краевой задачи для уравнений эллиптического типа. Устойчивость разностной схемы.
17.7. Метод сеток решения краевой задачи для уравнений параболического типа. Устойчивость разностной схемы: а) случай явной схемы; б) случай неявной схемы.
17.8. Метод сеток решения краевой задачи для уравнений гиперболического типа. Устойчивость разностной схемы.
17.9. Нормы векторов и матриц, их согласованность. Обусловленность систем линейных алгебраических уравнений.
18. Основы программирования.
18.1. Базовые алгоритмические конструкции и соответствующие им операторы (на примере нескольких языков программирования).
18.2. Основные методы оптимизации программного кода.
19. Языки программирования.
19.1. Формальное определение грамматики и языка.
19.2. Статические и динамические объекты: сравнительные достоинства и недостатки. Способы управления динамическими объектами.
19.3. Рекурсивные объекты и рекурсивные вычисления. Виды рекурсии. Проблемы, связанные с использованием рекурсии. Рекомендации по использованию рекурсии.
20. Базы данных.
20.1. Понятие СУБД. Краткая характеристика основных функций СУБД.
20.2. Решение задачи защиты физической целостности базы данных. Понятие транзакции.
20.3. Системы баз данных и модели данных. Краткая характеристика моделей данных.
20.4. Краткая характеристика этапов проектирования баз данных.
20.5. Моделирование «сущность-связь»: базовые понятия. Виды связей между сущностями.
20.6. Компоненты реляционной модели данных. Структура реляционных данных.
Программа утверждена на заседании ученого совета факультета математики и информационных технологий. Протокол №10 от 22 декабря 2016 г.
Председатель ученого совета,
декан факультета математики
и информационных технологий
