Прямая линия на плоскости (стр. 2 )

В частности, если , то прямая совпадает с осью . Таким образом, прямая определяет ось ординат.

Рис.1

3.  Если , то уравнение имеет вид и определяет прямую, параллельную оси (такая прямая называется горизонтальной).

В этом случае уравнение приводится к виду , где

(см. Рис.2).

В частности, если , то прямая совпадает с осью , т. е. прямая определяет ось абсцисс.

Рис.2

3.Уравнение прямой в отрезках

Теорема. Прямая, не проходящая через начало координат и не параллельная осям и, задается уравнением вида

(3)

где и параметры уравнения.

Доказательство. В уравнении ни один из коэффициентов не равен нулю. Перенесем свободный член в правую часть, разделим на обе части уравнения, получим

или .

Вводя обозначения , , получим .

Чтобы убедиться в этом, найдем точки пересечения прямой с координатными осями (см. Рис.3). Точка пересечения прямой с осью находится как решение системы Отсюда , .

y

Коэффициенты и имеют простой геометрический смысл: они есть величины отрезков, которые отсекает прямая на координатных осях, считая каждый от начала координат.

 

Рис.3

Таким образом, величина отрезка, отсекаемого прямой на оси , действительно равна . Аналогично устанавливается, что величина отрезка, отсекаемого прямой на оси , равна .

Уравнение вида (3) называется уравнением прямой в отрезках.

Пример. Дана прямая . Составить для этой прямой уравнение в отрезках и построить эту прямую.

Решение. Для данной прямой уравнение в отрезках имеет вид . Мы получим эту прямую на чертеже (см. Рис.4), если отложим на координатных осях и отрезки, величины которых соответственно равны ,.

yx

 

Рис.4

4.Уравнение прямой с угловым коэффициентом

Определение. Прямая, не параллельная оси ординат, называется наклонной.

Покажем, что уравнение любой наклонной прямой имеет вид .

Т. к. прямая не параллельна оси ординат, то в общем уравнении

коэффициент . Выразим :

, .

Обозначив через , , получим требуемое уравнение .

Пусть точка, в которой прямая пересекает ось (см. Рис.5). Ее координаты удовлетворяют уравнению прямой. Значит,, . Таким образом,величина отрезка, отсекаемого прямой на оси, считая от начала координат.

Выясним смысл коэффициентов и .

M

y

P

A

 

Рис.5

Выразим тангенс угла наклона прямой к положительному направлению оси абсцисс. Для этого рассмотрим треугольник , где переменная точка прямой, а точка имеет координаты . Имеем:

Коэффициент называется угловым коэффициентом прямой, а уравнение

(4)

называется уравнением прямой с угловым коэффициентом.

Пример. Построить прямую по уравнению

Решение. Отложим на оси отрезок (см. Рис.6); проведем через точку в направлении оси отрезок , и через точку в направлении осиотрезок . После этого, соединяя точки и , получим искомую прямую (она отсекает на оси отрезок и составляет с осью угол, тангенс которого равен .