Прямая линия на плоскости (стр. 4 )

2)  Если прямые и заданы каноническим или параметрическими уравнениями с направляющими векторами и , то

3)  Если прямые заданы уравнениями с угловыми коэффициентами:

,

,

то тангенс угла между ними находится по формуле

. (13)

y

x

 

Рис.10

Действительно, (см. Рис.10),

Замечание. Если требуется вычислить острый угол между прямыми, не учитывая, какая прямая является первой, какаявторой, то правая часть формулы (13) берется по модулю, т. е..

Пример. Даны прямые , . Найти угол между ними.

Решение. По формуле находим тангенс угла между данными

Прямыми: .

Таким образом, один из углов между прямыми равен .

4)  Рассмотрим случай, когда наклонные прямые заданы общими уравнениями (12). Покажем, что тангенс угла между ними можно найти по формуле

Выразим из каждого уравнений (10) , учитывая, что :

; .

Значит, угловые коэффициенты прямых соответственно равны

, ;

Критерии перпендикулярности прямых

1.Для того чтобы две прямые

,

были перпендикулярны, необходимо и достаточно, чтобы выполнялось условие .

Доказательство

.

2. Аналогично можно показать, если прямые и заданы каноническим или параметрическими уравнениями с направляющими векторами и , то условием их перпендикулярности является равенство .

3. Для того чтобы две прямые

,

были перпендикулярны, необходимо и достаточно, чтобы .

Доказательство. Прямые и перпендикулярны, значит, тангенс угла между ними теряет арифметический смысл, т. е. знаменатель в

формуле обращается в 0: или .

Последнее равенство иногда пишут так (угловые коэффициенты обратны по величине и противоположны по знаку).

Пример. Найти проекцию точки на прямую, проходящую через точки и .

Решение. Искомую точку найдем, решая совместно уравнение прямой c уравнением перпендикуляра, проведенного к этой прямой из точки .

Составим уравнение прямой ; применяя соотношение (11), получаем:

или .

Чтобы составить уравнение перпендикуляра из точки на прямую , напишем уравнение произвольной прямой, проходящей через точку ; согласно соотношению (5) имеем:

, (*)

где пока еще не определенный угловой коэффициент.

Нам нужно, чтобы прямая прошла перпендикулярно к прямой; следовательно, ее угловой коэффициент должен удовлетворять условию перпендикулярности с прямой. Т. к. угловой коэффициент прямой равен , то согласно формуле находим . Подставляя найденное значение в уравнение (*), получаем:

или .

Решая совместно уравнения

найдем координаты искомой проекции:.

Критерии параллельности прямых

1.Для того чтобы две прямые

,

были параллельны, необходимо и достаточно, чтобы выполнялось условие или

Доказательство. Две прямые и параллельны тогда и только тогда, когда коллинеарны их нормальные векторы , .

По критерию коллинеарности одноименные проекции векторов должны быть пропорциональны: .

Заметим, что если , то прямые совпадают.
Примеры

1)  Прямые ,

параллельны, т. к. .

2)  Прямые ,

совпадают, т. к. .

2. Аналогично можно показать, если прямые и заданы каноническим или параметрическими уравнениями с направляющими векторами и , то условием их параллельности является равенство .

3.Необходимым и достаточным условием параллельности двух прямых

,

является условие равенства их угловых коэффициентов .

Доказательство

Пусть и соответственно углы наклона прямых и к положительному направлению оси , их угловые коэффициенты
и . И, значит,

.

Что и требовалось показать.

Расстояние от точки до прямой

Пусть заданы прямая и точка .

Требуется найти расстояние от точки до прямой (см. Рис.11).

 

Рис.11

Расстояние от точки до прямой равно модулю проекции вектора , где произвольная точка прямой , на направление нормального вектора . Следовательно,

.

Т. к. точка принадлежит прямой, то ,

т. е. . Поэтому

(14)

что и требовалось получить.

Пример. Найти расстояние от точки до прямой .

Решение. По формуле (14) получаем