Прямая линия на плоскости (стр. 1 )

ПРЯМАЯ ЛИНИЯ НА ПЛОСКОСТИ

Понятие линии на плоскости

Линия на плоскости задается как множество точек, обладающих некоторым присущим только им геометрическим свойством. Введение на плоскости системы координат позволяет определять положение точки плоскости заданием двух чисел ее координат, а положение линии на плоскости определять с помощью уравнения (равенства, связывающего координаты точек линии).

Уравнением линии (или кривой) на плоскости называется такое уравнение c двумя переменными, которому удовлетворяют координаты каждой точки линии и не удовлетворяют координаты любой точки, не лежащей на линии.

Переменные и в уравнении линии называются текущими координатами точек линии.

Уравнение линии позволяет изучение геометрических свойств линии заменить на исследование его уравнения. Так, чтобы установить, лежит ли точка на данной линии, достаточно проверить (не прибегая к геометрическим построениям), удовлетворяют ли координаты точки уравнению этой линии в выбранной системе координат.

Вопрос о нахождении точек пересечения двух линий, заданных уравнениями и , сводится к отысканию точек, координаты которых удовлетворяют уравнениям обеих линий, т. е. сводится к решению системы двух уравнений с двумя переменными:

Если эта система не имеет действительных решений, то линии не пересекаются.

Аналогично вводится понятие уравнения кривой в полярной системе координат. Уравнение называется уравнением данной линии в полярной системе координат, если координаты любой точки, лежащей на этой лини, и только они, удовлетворяют этому уравнению.

Линию на плоскости можно задать при помощи двух уравнений:

(1)

где и координаты произвольной точки , лежащей на данной линии, а переменная, называемая параметром. Параметр определяет положение точки на плоскости. Если параметр изменяется, то точка на плоскости перемещается, описывая данную линию. Такое задание линии называется параметрическим, а уравнения параметрическими уравнениями линии.

Линию на плоскости можно задать векторным уравнением , где скалярный переменный параметр. Каждому значению соответствует определенный вектор плоскости. При изменении параметра конец вектора опишет линию. Векторному уравнению в системе координат соответствуют два скалярных уравнения (1); т. е. уравнения проекций на оси координат векторного уравнения линии есть ее параметрические уравнения.

Векторное уравнение и параметрические уравнения кривой имеют механический смысл: если точка перемещается на плоскости, то эти уравнения называются уравнениями движения, а линия траекторией точки, параметр при этом есть время.

Уравнения прямой на плоскости

1.Общее уравнение прямой на плоскости

Определение. Множество точек плоскости называется прямой, если найдется ненулевой вектор , который перпендикулярен всем векторам , где произвольная точка множества , а фиксированная точка этого множества.

Теорема 1. Всякая прямая на плоскости задается в системе координат уравнением первой степени с двумя переменными

, где одновременно и , т. е. .

Доказательство. Пусть на плоскости задана некоторая прямая . По определению существует ненулевой вектор , или , перпендикулярный векторам .

По критерию перпендикулярности векторов или

, где .

Теорема 2. Любое линейное уравнение с двумя переменными

, где , (2)

есть уравнение прямой на плоскости в некоторой декартовой системе координат.

Доказательство

Пусть и решения уравнения (2), т. е. являются верными равенства , . Вычитая почленно из первого равенства второе, получим .

Представим последнее равенство в виде скалярного произведения

, где , причем одновременно и

.

А это и означает, что есть множество точек прямой на плоскости.

Теорема доказана.

Замечания

1)  Уравнение , где , называется общим уравнением прямой на плоскости.

2)  Вектор , где, называется нормальным вектором или нормалью к прямой.

3)  Прямую на плоскости можно рассматривать как линию пересечения двух плоскостей

2.Неполные уравнения первой степени

Приведем частные случаи, когда уравнение первой степени является неполным.

1.  Если , то уравнение имеет вид и определяет прямую, проходящую через начало координат.

2.  Если , то уравнение имеет вид и определяет прямую, параллельную оси (такая прямая называется вертикальной).

В этом случае уравнение приводится к виду , где

 

В этом случае уравнение приводится к виду , где

(см. Рис.1).