Прямая линия на плоскости (стр. 3 )

Рис.6

Во многих случаях встречается необходимость составить уравнение прямой, зная ее точку и угловой коэффициент.

 

Рис.7

Угловой коэффициент прямой (см. Рис.7) равен тангенсу угла: .

Выразим из последнего равенства у:

. (5)

5.Каноническое уравнение прямой на плоскости

Определение. Направляющим вектором прямой называется вектор, лежащий на самой прямой или на прямой, ей параллельной.

Пусть прямая проходит через точку и имеет направляющий вектор Обозначим через произвольную точку прямой. Векторы

и коллинеарны. По критерию коллинеарности векторов их одноименные проекции пропорциональны:

(6)

Уравнение (6) называется каноническим уравнением прямой на плоскости.

6.Параметрические уравнения прямой на плоскости

Любую прямую на плоскости, проходящую через точку и имеющую направляющий вектор , можно задать уравнениями

(7)

Действительно, если в каноническом уравнении (6) обозначить отношения через , то получим

или

Уравнения (7) называются параметрическими уравнениями прямой на плоскости, апараметром, меняя который, можно получить любую точку на данной прямой.

7. Нормальное уравнение прямой на плоскости

 

Рис.8

Пусть на плоскости дана некоторая прямая (см. Рис.8). Проведем через начало координат прямую, перпендикулярную к данной, обозначим через точку их пересечения. Выберем в качестве нормального вектора к данной прямой, вектор, сонаправленный с вектором . Если точка совпадает с точкой , т. е. если данная прямая проходит через начало координат, то направление нормали можно выбрать произвольно. Обозначим через длину отрезка, через и углы, которые нормаль образует с координатными осями и соответственно. Возьмем на прямой точку . Проекция вектора на нормаль равна : . С другой стороны, , где орт нормали. И, значит, .

Следовательно, или

. (8)

Уравнение прямой, написанное в форме (8), называется нормальным.

Замечание 1. Коэффициенты нормального уравнения удовлетворяют требованиям:

1)  ,

2)  .

Замечание 2.Т. к. , то уравнение (8) можно записать в виде

.

Покажем, как привести общее уравнение прямой (2) к нормальному виду (8). Пусть общее уравнение некоторой прямой, а ее нормальное уравнение. Т. к. эти уравнения определяют одну и ту же прямую, то коэффициенты этих уравнений пропорциональны:

, , . (9)

Чтобы найти множитель , возведем в квадрат первые два из этих равенств и сложим, получим:

.

Отсюда .

Число называется нормирующим множителем. Для определения знака нормирующего множителя используем третье из равенств (9). Согласно этому равенству есть число отрицательное. Следовательно, знак нормирующего множителя противоположен знаку свободного члена общего уравнения прямой.

Замечание. Если , то знак нормирующего множителя можно выбирать произвольно.

8. Полярное уравнение прямой на плоскости

l

 

Рис.9

Найдем уравнение прямой в полярных координатах. Ее положение можно определить, указав расстояние от полюса до данной прямой и угол между полярной осью и осью , проходящей через полюс перпендикулярно данной прямой (см. Рис.9). Для любой точки на данной прямой . С другой стороны,

.

Следовательно,

. (10)

Уравнение (10) называется уравнением прямой в полярных координатах.

9. Уравнения прямой, проходящей через две заданные точки

Каноническое уравнение прямой, проходящей две точки

и :

(11)

Это уравнение легко получается из канонического уравнения (6), если взять за точку точку , а за направляющий вектор вектор

.

Пример. Составить уравнение прямой, проходящей через

точки и .

Решение. Подставляя координаты данных точек в соотношение (11), получим: или .

Взаимное расположение прямых на плоскости

Определение. Углом между прямыми и называется угол, на который надо повернуть одну из прямых вокруг точки их пересечения до совмещения ее с другой прямой.

1)  Пусть прямые заданы общими уравнениями:

, (12)

.

Тогда угол между прямыми есть угол между их нормальными векторами

, . Косинус угла