Глава 3 Оценка достоверности сдвига в значениях исследуемого признака (стр. 13 )

Эмпирические частоты пропуска слов по укрупненным разрядам в двух выборках испытуемых

Разряды	Эмпирические частоты пропуска слов
В группе студентов (n1=156)	В группе артистов балета (n2=85)	Суммы
I. 0 пропусков II. 1 пропуск III. 2 пропуска IV. 3-4 пропуска V. 5-9 пропусков	93 27 11 20 5	А В Д Ж И	22 20 16 7 20	Б Г Е З К	115 47 27 27 25
Суммы	156	85	241

Исследователю бывает огорчительно терять информацию, заведо­мо утрачиваемую при укрупнении разрядов. Например, в данном случае нас может интересовать, удалось ли сохранить специфический для вто­рой выборки спад частот на 3 и 4 пропусках и резкий их подъем на 5 пропусках (Рис. 4.7).

Сравним графики на Рис. 4.7 и Рис. 4.8. Мы видим, что спад частот во второй выборке на 3-х и 4-х пропусках сохранился, а спад на 2-х пропусках в первой выборке стал еще более заметным. В то же время все возможные различия в частотах в диапазоне от 5-и до 9-и пропусков теперь оцениваются только глобально, по соотношению об­щих сумм частот в этих диапазонах. По графику на Рис. 4.8 мы уже не можем определить, какое максимальное количество пропусков встре­чается в первой группе и какое - во второй. Сопоставление распределе­ний на этом конце становится более грубым.

Если бы у нас было больше испытуемых в выборке артистов ба­лета, то, возможно, удалось бы сохранить подъем частоты на 5-и про­пусках. Сейчас же нам придется довольствоваться сопоставлением по данным укрупненным разрядам.

Перейдем к подсчету теоретических частот для каждой ячейки Табл. 4.14

fА теор=115*156/241=74,44

fБ теор=115*85/241=40,56

fВ теор=47*156/241=30,41

fГ теор=47*85/241=16,59

fД теор=27*156/241=17,47

fЕ теор=27*85/241=9,53 fЖ теор=27*156/241=17,47

fЗ теор=27*85/241=9,53 fИ теор=25*156/241=16,18 fК теор=25*85/241=8,82

Определим количество степеней свободы V по формуле: ν=(k-l)*(c - l) где k - количество строк (разрядов),

с - количество столбцов (выборок). Для данного случая: ν=(5-l)*(2-l)=4

Все дальнейшие расчеты произведем в таблице по Алгоритму 13. Поправка на непрерывность не требуется, так как v>l.

Таблица 4.15

Расчет критерия χ2 при сопоставлении двух эмпирических распределений пропусков слов в тесте Мюнстерберга (n1=156, n2=85)

Ячейки таблицы частот	Эмпирическая частота взгляда (fэj)	Теоретическая частота (fт)	(fэj-fт)	(fэj-fт)2	(fэj-fт)2/ fт
А Б В Г Д Е Ж З И К	93 22 27 20 11 16 20 7 5 20	74,44 46,56 30,41 16,59 17,47 9,53 17,47 9,53 16,18 8,82	18,56 -18,56 -3,41 3,41 -6,47 6,47 2,53 -2,53 -11,18 11,18	344,47 344,47 11,63 11,63 41,86 41,86 6,401 6,401 124,99 124,99	4,63 8,49 0,38 0,70 2,40 4,40 0,37 0,67 7,72 14,17
Суммы	241	241	0,00		43,95

По Табл. IX Приложения 1 определяем критические значения при ν =4:

Ответ: Н0 отвергается. Принимается Н1. Распределения про-пусков слов в выборках студентов и артистов балета различаются меж­ду собой (р<0,01).

В распределении ошибок у артистов балета можно заметить два выраженных максимума (0 пропусков и 5 пропусков), что может ука­зывать на два возможных источника ошибок[11].

4.3. λ - критерий Колмогорова-Смирнова

Назначение критерия

Критерий X предназначен для сопоставления двух распределений:

а) эмпирического с теоретическим, например, равномерным или
нормальным;

б) одного эмпирического распределения с другими эмпирическим
распределением.

Критерий позволяет найти точку, в которой сумма накопленных расхождений между двумя распределениями является наибольшей, и оценить достоверность этого расхождения.

Описание критерия

Если в методе χ2 мы сопоставляли частоты двух распределений отдельно по каждому разряду, то здесь мы сопоставляем сначала часто­ты по первому разряду, потом по сумме первого и второго разрядов, потом по сумме первого, второго и третьего разрядов и т. д. Таким образом, мы сопоставляем всякий раз накопленные к данному разряду частоты.

Если различия между двумя распределениями существенны, то в какой-то момент разность накопленных частот достигнет критического значения, и мы сможем признать различия статистически достоверны­ми. В формулу критерия λ включается эта разность. Чем больше эмпи­рическое значение λ, тем более существенны различия.

Гипотезы

Н0: Различия между двумя распределениями недостоверны (судя по точке максимального накопленного расхождения между ними).

H1: Различия между двумя распределениями достоверны (судя по точке максимального накопленного расхождения между ними).

Графическое представление критерия

Рассмотрим для иллюстрации распределение желтого (№4) цвета в 8-цветном тесте М. Люшера. Если бы испытуемые случайным обра­зом выбирали цвета, то желтый цвет, так же, как и все остальные, равновероятно мог бы занимать любую из 8-и позиций выбора. На практике, однако, большинство испытуемых помещают этот цвет, "цвет ожидания и надежды" на одну из первых позиций ряда.

На Рис. 4.9 столбиками представлены относительные частоты[12] попадания желтого цвета сначала на 1-ю позицию (первый левый стол­бик), затем на 1-ю и 2-ю позицию (второй столбик), затем на 1-ю, 2-ю и 3-ю позиции и т. д. Мы видим, что высота столбиков постоянно воз­растает, так как они отражают относительные частоты, накопленные к данной позиции. Например, столбик на 3-й позиции имеет высоту 0,51. Это означает, что на первые три позиции желтый цвет помещают 51% испытуемых.

Прерывистой линией на Рис. 4.9 соединены точки, отражающие накопленные частоты, которые наблюдались бы, если бы желтый цвет с равной вероятностью попадал на каждую из 8-и позиций. Сплошными линиями обозначены расхождения между эмпирическими и теоретически­ми относительными частотами. Эти расхождения обозначаются как d.

Рис. 4.9. Сопоставления в критерии λ: стрелками отмечены расхождения между эмпири­ческими и теоретическими накопленными относительными частотами по каждому разряду

Максимальное расхождение на Рис. 4.9 обозначено как dmax. Именно эта, третья позиция цвета, и является переломной точкой, опре­деляющей, достоверно ли отличается данное эмпирическое распределе­ние от равномерного. Мы проверим это при рассмотрении Примера 1.

Ограничения критерия λ

1. Критерий требует, чтобы выборка была достаточно большой. При сопоставлении двух эмпирических распределений необходимо, что­бы п1,2 >50. Сопоставление эмпирического распределения с теоре­тическим иногда допускается при п>5 (Ван дер , 1960; , 1978).

2. Разряды должны быть упорядочены по нарастанию или убыванию какого-либо признака. Они обязательно должны отражать какое-то однонаправленное его изменение. Например, мы можем за разряды принять дни недели, 1-й, 2-й, 3-й месяцы после прохождения курса терапии, повышение температуры тела, усиление чувства недостаточ­ности и т. д. В то же время, если мы возьмем разряды, которые случайно оказались выстроенными в данную последовательность, то и накопление частот будет отражать лишь этот элемент случайного соседства разрядов. Например, если шесть стимульных картин в ме­тодике Хекхаузена разным испытуемым предъявляются в разном порядке, мы не вправе говорить о накоплении реакций при переходе от картины №1 стандартного набора к картине №2 и т. д. Мы не можем говорить об однонаправленном изменении признака при со­поставлении категорий "очередность рождения", "национальность", "специфика полученного образования" и т. п. Эти данные представ­ляют собой номинативные шкалы: в них нет никакого однозначного однонаправленного изменения признака.

Итак, мы не можем накапливать частоты по разрядам, которые отличаются лишь качественно и не представляют собой шкалы порядка. Во всех тех случаях, когда разряды представляют собой не упо­рядоченные по возрастанию или убыванию какого-либо признака кате­гории, нам следует применять метод χ2.

Пример 1: Сопоставление эмпирического распределения с теоретическим

В выборке здоровых лиц мужского пола, студентов технических и военно-технических вузов в возрасте от 19-ти до 22 лет, средний воз­раст 20 лет, проводился тест Люшера в 8-цветном варианте. Установ­лено, что желтый цвет предпочитается испытуемыми чаще, чем отверга­ется (Табл. 4.16). Можно ли утверждать, что распределение желтого цвета по 8-и позициям у здоровых испытуемых отличается от равно­мерного распределения?

Таблица 4.16

Эмпирические частоты попадания желтого цвета на каждую из 8 позиций (n=102)

Сформулируем гипотезы.

H0: Эмпирическое распределение желтого цвета по восьми позициям не отличается от равномерного распределения.

H1: Эмпирическое распределение желтого цвета по восьми позициям отличается от равномерного распределения.