или

. (12)

Как видно, последние равенства представляют собой тождества, что свидетельствует о том, что формулы (6) являются решением дифференциального уравнения гармонических колебаний (5).

Как и любое механическое движение, гармоническое колебание имеет динамические характеристики. К ним относятся импульс колеблющегося тела, который при подстановке в формулу импульса формулы скорости гармонического колебания будет иметь вид:

или (13)

При этом величина представляет собой максимальное значение импульса или амплитуду импульса при гармонических колебаниях.

К динамическим величинам относится сила, под действием которой совершается гармоническое колебание. Формула (1) показывает зависимость силы от величины смещения от положения равновесия. Теперь, зная зависимость смещения от положения равновесия, можно найти изменение силы со временем:

(14)

Из полученных выражений видно, что импульс точки при гармонических колебаниях и сила, действующая при этом на колеблющуюся точку, изменяются со временем по гармоническому закону, то есть по закону синуса или косинуса.

Динамическими характеристиками являются также кинетическая, потенциальная и полная энергия гармонических колебаний. Для того, чтобы определить эти величины воспользуемся известными формулами, в которые подставим функции скорости и смещения. Тогда для кинетической и потенциальной энергии гармонического колебания получим:

или (15)

Как видно из последних формул, кинетическая и потенциальная энергия гармонического колебания со временем не изменяются по гармоническому закону. Эти величины определяются квадратом синуса или косинуса. Однако, используя тригонометрические функции двойного аргумента, можно показать, что определенная периодичность в изменении со временем у этих величин есть, так как имеем:

НЕ нашли? Не то? Что вы ищете?

(16)

Отсюда следует, что частота изменения кинетической и потенциальной энергии в два раза больше частоты самих колебаний. При этом величины

(17)

представляет собой максимальное значение кинетической или потенциальной энергии.

Теперь найдем выражение для полной энергии гармонических колебаний:

или (18)

Как видно из последней формулы, для гармонических колебаний выполняется закон сохранения энергии. Кроме того, полная энергия гармонического колебания равна максимальной потенциальной или максимальной кинетической энергии. Это указывает на то, что гармонические колебания являются незатухающими.

Любое тело, движение которого, описывается такими же величинами, как и гармонические колебания, называется линейным гармоническим осциллятором. Понятие линейного гармонического осциллятора, наряду с понятием материальной точки, является одной из основных абстракций физики, по которой ориентируются при решении задач на колебания сложных систем тел.

3.  Сложение гармонических колебаний одного направления с одинаковыми частотами. Графическое представление колебаний. Диаграммы сложения колебаний

Многие задачи физики колебаний и волн сводится к задачам о сложении колебаний. К таким задачам относятся задачи по изучению интерференции и дифракции волн любой природы. Поэтому рассмотрим, каким образом можно найти колебание или движение, которое получается в результате сложения двух, а возможно и нескольких колебаний. В первой задаче рассмотрим сложение двух колебаний одного направления с одинаковыми частотами.

Пусть две материальные точки колеблются около положения равновесия, согласно уравнениям:

(1)

В этих уравнениях и - амплитуды колебаний, - одинаковые циклические частоты этих колебаний, а и - начальные фазы колебаний. Результирующее колебание можно записать как алгебраическую сумму колебаний:

(2)

При этом результат можно найти, использую тригонометрические соотношения для суммы двух тригонометрических функций. Однако такое решение будет достаточно громоздким, а главное, оно трудно интерпретируется с точки зрения физики, так как носит формальный характер. Поэтому для решения задачи будем использовать графическое представление гармонических колебаний.

Графически гармоническое колебание в некоторой системе координат представляется вектором, величина которого равна амплитуде колебаний, и который составляет с осью угол , равный начальной фазе колебаний. Это представление представлено на рисунке 1.

Рис. 1. Графическое представление гармонического колебания

Колебания с разными амплитудами и разными начальными фазами, но с одинаковыми циклическими частотами можно изобразить на одном рисунке, и тогда задача о сложении колебаний сводится к задаче о сложении векторов. Графическое сложение двух гармонических колебаний одного направления с одинаковыми частотами представлено на рисунке 2.

Рис. 2. Диаграмма графического сложения гармонических колебаний

По правилу параллелограмма или треугольника находим результирующее колебание, которое имеет ту же частоту, что и складываемые колебания, амплитуда которого на рисунке обозначена вектором , и начальная фаза также обозначена . Теперь надо определить эту амплитуду и начальную фазу. Это можно сделать, применяя теорему косинусов для треугольника :

(3)

Для того чтобы найти начальную фазу определим тангенс этого угла, который в соответствии с рисунком определяется формулой:

(4)

Тогда начальная фаза результирующего колебания имеет вид:

(5)

Теперь можем записать результирующее колебание. Это гармоническое колебание с частотой, равной частоте складываемых колебаний:

, (6)

где - определяется формулой (3), а - формулой (5).

Таким образом, для того чтобы сложить два гармонических колебания одного направления с одинаковыми частотами необходимо:

1)  записать два колебания через одну тригонометрическую функцию, то есть, оба колебания должны представлять зависимость от времени или по закону синуса или по закону косинуса;

2)  на одном рисунке в одной системе координат изобразить оба гармонические колебания и найти путем сложения векторов на диаграмме амплитуду и начальную фазу результирующего колебания. Такой рисунок называется векторной диаграммой сложения колебаний;

3)  используя, теорему косинусов и определение некоторой тригонометрической функции угла, например, тангенса угла, определить значения характеристик результирующего колебания;

4)  записать уравнение результирующего колебания.

Если необходимо сложить три и большее количество колебаний одного направления с одинаковыми частотами, то эту процедуру надо повторять, добавляя к полученной сумме новое колебание.

4.  Сложение взаимно перпендикулярных колебаний. Фигуры Лиссажу

В ряде задач физики необходимо получить и использовать результат сложения двух взаимно перпендикулярных колебаний. Пусть одна из точек совершает колебание вдоль оси , а другая – вдоль оси . Уравнения этих колебаний имеют вид:

(1)

Для того, чтобы получить результирующее движение, которое получится при сложении таких колебаний необходимо исключить параметр , а полученное при этом уравнение будет уравнением траектории некоторой линии. Такие линии называются фигурами Лиссажу.

Рассмотрим частный случай сложения взаимно перпендикулярных колебаний, у которых одинаковая циклическая частота . Уравнения таких колебаний имеет вид:

(2)

Чтобы исключить параметр , представим последние формулы в виде:

Из за большого объема этот материал размещен на нескольких страницах:
1 2 3 4