(3)

Умножим первое из этих уравнений на , а второе - на :

(4)

Вычтем из первого равенства второе равенство и получим:

(5)

Теперь умножим первое из уравнений (3) на , а второе – на и получим:

(6)

Вычитаем из первого выражения второе выражение и получаем:

(7)

Возведем в квадрат выражения (5) и (7):

(8)

Теперь раскрываем скобки и складываем последние выражения. При этом получаем выражение, не содержащее параметр , которое представляет собой траекторию результирующего движения:

Преобразуем последнее выражение, учитывая основное тригонометрическое равенство и теорему о косинусе разности углов, получаем:

(9)

Уравнение (9) представляет собой в общем случае уравнение эллипса. Ориентация этого эллипса зависит от разности начальных фаз складываемых колебаний. Поэтому рассмотрим частные случаи.

Пусть разность начальных фаз удовлетворяет условию: . Тогда уравнение (9) преобразуется к виду:

(10)

Уравнение (10) представляет собой уравнение прямой линии, которая проходит через первый и четвертый квадрант прямоугольной декартовой системы координат.

Пусть разность начальных фаз удовлетворяет условию . Тогда уравнение (9) преобразуется к виду:

(11)

Это уравнение также представляет собой уравнение прямой линии, которая проходит во втором и четвертом квадрантах.

Пусть разность начальных фаз удовлетворяет условию . Тогда уравнение (9) приобретает вид:

(12)

Уравнение (12) является уравнением эллипса с центром в начале координат и с полуосями и . Если , то эллипс превращается в окружность с центром в начале координат и радиусом, равным .

НЕ нашли? Не то? Что вы ищете?

На примере рассмотрим сложение двух колебаний с частотами, которые отличаются в два раза. Например, пусть складываются два колебания, уравнения которых имеют вид:

(13)

Для того, чтобы найти результат сложения таких колебаний, воспользуемся формулой косинуса двойного угла и проведем следующее преобразования уравнения колебания вдоль оси :

(14)

Теперь из первого уравнения формулы (13) найдем (15) и подставим в формулу (14):

(16)

Уравнение (16) является уравнением параболы.

В других случаях для определения траектории применяются аналогичные преобразования, в результате которых получаются различные фигуры Лиссажу. Такие фигуры показаны на рисунке 3.

5.  Затухающие колебания. Декремент. Логарифмический декремент. Время релаксации

В реальности всякое колебание будет затухать, так как на колеблющееся тело действует сила сопротивления со стороны среды, в которой происходят колебания. Энергия колебаний расходуется на работу против сил сопротивления, а, следовательно, будет уменьшаться амплитуда колебаний. Рассмотрим случай, когда колебания происходят с небольшими скоростями. Тогда величина силы сопротивления среды или силы вязкого трения определяется по формуле:

(1)

Здесь - коэффициент сопротивления среды, который зависит от коэффициента вязкости среды и от формы, колеблющегося тела, а - скорость колеблющегося тела.

Рис. 3. Фигуры Лиссажу при различном отношении периодов взаимно перпендикулярных колебаний

Так как сила сопротивления направлена в сторону, противоположную направлению скорости, то второй закон Ньютона в проекции на ось , вдоль которой происходит колебание, имеет вид:

(2)

Поделим последнее выражение на массу тела и введем обозначения, после чего уравнение (2) будет иметь вид:

(3)

Последнее выражение в формуле (3) представляет собой дифференциальное уравнение затухающих колебаний. Величина - называется коэффициентом затухания.

Уравнение (3) представляет собой однородное дифференциальное уравнение второго порядка. Его решение находится на основе соответствующей теоремы о решении однородных дифференциальных уравнений второго порядка. Согласно этой теореме, решение этого уравнения имеет вид:

(4)

Это решение соответствует случаю малых колебаний с небольшой скоростью при условии, что . В уравнении (4) - амплитуда затухающих колебаний в начальный момент времени, а - начальная фаза. Эти величины получаются как произвольные постоянные при интегрировании дифференциального уравнения второго порядка. Они определяются при задании начальных условий. Формула (4) называется уравнением затухающих колебаний.

Это уравнение не является уравнением гармонических колебаний, так как амплитуда колебаний уменьшается со временем по закону:

(5)

Для того, чтобы описать процесс затухания колебаний вводят следующие характеристики: декремент, логарифмический декремент и время релаксации.

Декрементом называется отношение амплитуды колебаний в некоторый момент времени к амплитуде колебаний через время, равное периоду колебаний:

(6)

Декремент показывает, во сколько раз изменяется амплитуда колебаний за время, равное периоду колебаний.

Формула декремента показывает, что более удобной для использования величиной будет натуральный логарифм от декремента. Эта величина называется логарифмическим декрементом:

(7)

Из последней формулы можно найти коэффициент затухания , и тогда уравнение затухающих колебаний можно записать в виде:

(8)

Временем релаксации называется время, в течение которого амплитуда колебаний уменьшится в раз. Из этого определения найдем время релаксации:

(9)

6.  Задания самостоятельной работы студентов

Студентам предлагается в заданиях учебной практики выполнить расчетно – графическую работу по теме «Механические колебания». Задания формулируются в виде следующей задачи, конкретные количественные значения для решения которой студенты выбирают из таблицы в соответствии со своим вариантом. Номер варианта каждому студенту выдает преподаватель.

Задача

На пружине жесткостью подвешено тело, которое совершает колебание с периодом . Максимальная сила, действующая на тело . Начальная фаза колебания .

1.  Построить графики зависимости от времени следующих величин ;

2.  Считая колебания затухающими с логарифмическим декрементом затухания , построить графики . Рассчитать и показать на графике время релаксации;

Из за большого объема этот материал размещен на нескольких страницах:
1 2 3 4