XXXVII
КИРОВСКАЯ ОБЛАСТНАЯ МАТЕМАТИЧЕСКАЯ ОЛИМПИАДА. ВТОРОЙ ЭТАП.
Муниципальный этап 2010 год
ЗАДАНИЯ ДЛЯ 5 КЛАССА
Задача 1. Найдите все трёхзначные числа, у которых вторая цифра вчетверо больше первой, а сумма всех трёх цифр равна 14.
Задача 2. Петя разрезал одну буханку хлеба на три одинаковые части, а другую такую же буханку — на четыре одинаковые части. Части второй буханки оказались на 100 г легче частей первой буханки. Сколько весит буханка? Ответ объясните.
Задача 3. Имеются четыре одинаковых грузовика. Кузов одного из них пуст, а три других нагружены песком так, что в один можно загрузить ещё 3 т песка, в другой — 5 т, а в третий — 2 т. При этом 15 т песка ещё не погружены. Смогут ли эти грузовики за один рейс увезти весь песок? Ответ объясните.
Задача 4. Как разрезать клетчатый квадрат размером 6x6 клеточек на четыре одинаковые фигуры периметра 16 каждая, если резать можно только по сторонам клеточек? Сторона клеточки равна 1.
Задача 5. На гранях кубика расставлены числа 1, 2, 3, 4, 5, 6. Кубик бросит два раза. В первый раз сумма чисел на четырёх боковых гранях оказалась равной 12, во второй — 15. Какое число могло быть написано на грани, противоположной той, на которой написана цифра 3? Укажите все возможности и постарайтесь объяснить, почему других возможностей нет.
XXXVII
КИРОВСКАЯ ОБЛАСТНАЯ МАТЕМАТИЧЕСКАЯ ОЛИМПИАДА. ВТОРОЙ ЭТАП.
Муниципальный этап 2010 год
ЗАДАНИЯ ДЛЯ 6 КЛАССА
Задача 1. Найдите все четырехзначные числа, у которых вторая цифра впятеро больше первой, а произведение всех четырёх цифр равно 10.
Задача 2. Торговец купил на оптовом рынке партию ручек и предлагает покупателям либо одну ручку за 10 рублей, либо три ручки за 20 рублей. При этом он в обоих случаях получает одинаковую прибыль. Какова оптовая цена ручки?
Задача 3. Ванна объёмом 100 л снабжена краном и сливом, находящимся прямо под краном. Из открытого крана в ванну каждую минуту вливается 2 л воды. Открытый слив пропускает 3 л воды в минуту. Сначала кран и слив были закрыты, а ванна пуста. В 12.00 открыли кран. В 12.30 открыли слив. В 14.00 закрыли слив. В какой момент ванна наполнилась целиком?
Задача 4. Как разрезать клетчатый квадрат размером 6x6 клеточек на четыре одинаковые фигуры периметра 20 каждая, если резать можно только по сторонам клеточек? Сторона клеточки равна 1.
Задача 5. Двое играют в такую игру. В белом клетчатом квадрате со стороной в 5 клеток они по очереди закрашивают чёрным клетчатые квадраты, в которых все клетки— белые (в частности, можно закрашивать одну белую клетку). Проигрывает тот, после хода которого не осталось белых клеток. Кто выиграет при правильной игре: тот, кто ходит первым, или его соперник, и как ему для этого надо играть?
XXXVII
КИРОВСКАЯ ОБЛАСТНАЯ МАТЕМАТИЧЕСКАЯ ОЛИМПИАДА. ВТОРОЙ ЭТАП.
Муниципальный этап 2010 год
ЗАДАНИЯ ДЛЯ 7 КЛАССА
Задача 1. Мама купила 10 больших пирожных, 7 средних и 4 маленьких. Маленькое пирожное весит вдвое меньше среднего, а большое — втрое больше маленького. Как маме поделить их между шестью детьми, чтобы общий вес пирожных, доставшихся каждому, был одним и тем же, если разрезать пирожные она не хочет?
Задача 2. Сумма трёх чисел положительна. Может ли случиться, что сумма любых двух из этих чисел отрицательна?
Задача 3. Как разрезать клетчатый квадрат размером 8x8 клеточек на четыре одинаковые фигуры периметра 34 каждая, если резать можно только по сторонам клеточек? Сторона клеточки равна 1.
Задача 4. Двое по очереди проводят на плоскости прямые, причем, дважды одну прямую проводить нельзя. Выигрывает тот, после хода которого число кусков, на которые плоскость разбита проведенными прямыми, впервые разделится на 5. Докажите, что тот, кто ходит вторым, всегда может победить.
Задача 5. Все цифры в десятичной записи числа различны, и оно делится на каждую из этих цифр. Каково наибольшее возможное количество цифр в записи такого числа?
XXXVII
КИРОВСКАЯ ОБЛАСТНАЯ МАТЕМАТИЧЕСКАЯ ОЛИМПИАДА. ВТОРОЙ ЭТАП.
Муниципальный этап 2010 год
ЗАДАНИЯ ДЛЯ 8 КЛАССА
Задача 1. Найдите все пятизначные числа, у которых вторая цифра впятеро больше первой, а произведение всех пяти цифр равно 1000.
Задача 2. Числа а, b и с таковы, что а> b и (а - b)( b - с)(с-а) > 0. Что больше: а или с?
Задача 3. Двое по очереди проводят на плоскости прямые, причем дважды одну прямую проводить нельзя. Выигрывает тот, после хода которого число кусков, на которые плоскость разбита проведенными прямыми, впервые разделится на 5. Кто выиграет при правильной игре: тот, кто ходит первым, или его партнер, и как ему для этого надо играть?
Задача 4. На стороне ВС треугольника AВС отмечена точка Е, а на биссектрисе ВD — точка F таким образом, что ЕF//АС и АF = АD. Докажите, что АВ = ВЕ.
Задача 5. В футбольном турнире, где каждая команда по одному разу сыграла с каждой, участвовали команды А, Б, В, Г, Д и Е. За победу команда получала 3 очка, за ничью — 1 очко, за поражение — 0 очков. В итоге оказалось, что команды А, Б, В, Г и Д набрали по 7 очков. Какое наибольшее количество очков могла набрать команда Е?
XXXVII
КИРОВСКАЯ ОБЛАСТНАЯ МАТЕМАТИЧЕСКАЯ ОЛИМПИАДА. ВТОРОЙ ЭТАП.
Муниципальный этап 2010 год
ЗАДАНИЯ ДЛЯ 9 КЛАССА
Задача 1. Найдите все пятизначные числа, у которых вторая цифра впятеро больше первой, а произведение всех пяти цифр равно 2000.
Задача 2. Числа а, b и с таковы, что а> b и (а - b)( b - с)(с-а) > 0. Расположите числа а, b и с в порядке возрастания.
Задача 3. Каждый житель острова Гдетотам — рыцарь, всегда говорящий правду, лжец, который всегда лжёт, или хитрец, который может и лгать, и говорить правду. Однажды собрались трое жителей острова. Первый сказал: «Я — лжец». Второй сказал: «Среди нас есть хитрец». Третий сказал: «Среди нас есть лжец». Сколько хитрецов могло быть среди собравшихся?
Задача 4. Такова же, как задача 5 для 8 класса.
Задача 5. Точки D и Е делят сторону ВС треугольника АВС на три равные части. Докажите, что АD+АЕ < АВ+АС.
XXXVII
КИРОВСКАЯ ОБЛАСТНАЯ МАТЕМАТИЧЕСКАЯ ОЛИМПИАДА. ВТОРОЙ ЭТАП.
Муниципальный этап 2010 год
ЗАДАНИЯ ДЛЯ 10 КЛАССА
Задача 1. Заработная плата облагается 13-процентным налогом на доходы физических лиц. Сколько денег было начислено работнику, который после вычета налога получил 17400 рублей?
Задача 2. В последовательности а1, а2, а3,... нет нулей и при всех п ≥ 2 выполнено равенство аn =аn-1*аn+1. Найдите а2011, если а1= 2010.
Задача 3. В футбольном турнире, где каждая команда по одному разу сыграла с каждой, участвовали 6 команд. За победу команда получала 3 очка, за ничью — 1 очко, за поражение — 0. В итоге ровно четыре команды набрали по 7 очков. Докажите, что команда, занявшая последнее место, набрала не больше 6 очков.
Задача 4. Назовём натуральное число «уравновешенным», если в его десятичной записи некоторое «начало» совпадает с некоторым «концом» , причём эти «начало» и «конец» не накладываются друг на друга (например, 2012, 90590 и т. п.). Докажите, что десятизначных «уравновешенных» чисел меньше миллиарда.
Задача 5. В пространстве даны 6 прямых. Каждая из них пересекается в точности с четырьмя из остальных, и никакие три из них не пересекаются в одной точке. Докажите, что все данные прямые лежат в одной плоскости.
XXXVII
КИРОВСКАЯ ОБЛАСТНАЯ МАТЕМАТИЧЕСКАЯ ОЛИМПИАДА. ВТОРОЙ ЭТАП.
Муниципальный этап 2010 год
ЗАДАНИЯ ДЛЯ 11 КЛАССА
Задача 1. Такова же, как задача 3 для 6 класса.
Задача 2. Решите уравнение sin х+соs х = tg х+сtg х.
Задача 3. Все углы шестиугольника АВСDEF меньше 180 градусов, а любые две его противоположные стороны (АВ и DЕ, ВС и Еf, СD и FА) параллельны и равны. Докажите, что этот шестиугольник можно без остатка разрезать на три параллелограмма.
Задача 4. У каждого из трёх попарно различных квадратных трёхчленов f1=a1x2+b1x+c1, f2=a2x2+b2x+c12, f3=a3x2+b3x+c3 с целыми коэффициентами по два различных целых корня, а вместе у них три различных корня. Может пи для какого-то целого числа п произведение равняться f1(n)f2(n) f3(n)=2010?
Задача 5. В пространстве даны 8 прямых. Каждая из них пересекается не менее, чем с пятью из остальных, и никакие три из них не пересекаются в одной точке. Обязательно ли все данные прямые лежат в одной плоскости?
