Задача №1
Дана таблица значений функции 
. Построить для этой функции интерполяционный многочлен Лагранжа и с помощью его найти приближенное значение функции для заданного аргумента 
| 0 | 0.5 | 1.0 | 1.5 | 2 |
| -1 | 2 | 4 | 3 | -2 |
Решение. Часто приходится рассматривать функции 
, заданные табличными значениями 
. Эти значения могут быть получены в результате расчета, эксперимента, опыта и т. д. Значения же функции в промежуточных точках неизвестны и их получения может быть связано с проведением сложных расчетов и экспериментов. В некоторых случаях даже при известной зависимости 
ее использование в практических расчетах затруднительно из-за ее громоздкости (содержит трудно вычисляемые выражения, сложные интегралы и т. д.).
В связи с этим возникает задача о приближении (аппроксимации) функций: функцию , заданную таблично или аналитически, аппроксимировать функцией 
, так, чтобы отклонение от в заданной области было наименьшим. Функция при этом называется аппроксимирующей.
На практике очень важен случай аппроксимации функции многочленом
. (1)
При этом коэффициенты 
подбираются так, чтобы достичь наименьшего отклонения многочлена от данной функции. В этом случае будем говорить о полиномиальной аппроксимации или кусочно-полиномиальной аппроксимации.
Если приближение строится на заданном дискретном множестве точек 
, то аппроксимация называется точечной. К ней относятся интерполирование, среднеквадратичное приближение и др.
При построении приближения на непрерывном множестве точек (например, на отрезке 
), аппроксимация называется непрерывной (или интегральной).
Одним из основных типов точечной аппроксимации является интерполирование. Оно состоит в следующем: для данной функции строим многочлен (1), принимающий в заданных точках 
те же значения 
, что и функция , т. е.
, 
. (2)
При этом предполагается, что среди значений нет одинаковых, т. е. 
при 
.
Точки называются узлами интерполяции, а многочлен - интерполяционным многочленом. Близость интерполяционного многочлена к заданной функции состоит в том, что их значения совпадают на заданной системе точек.
Максимальная степень интерполяционного многочлена 
. В этом случае говорят о глобальной интерполяции, так как один многочлен
(3)
используется для интерполяции функции на всем рассматриваемом интервале аргумента 
. Коэффициенты многочлена (3) находятся из системы уравнений (2).
Построим теперь интерполяционный многочлен, единый для всего отрезка . Пусть задано 
значение таблично заданной функции
|
|
|
| … |
|
|
|
|
| … |
|
Интерполяционный многочлен Лагранжа для заданной функции имеет вид
или 
.
Подставим в эту формулу заданные табличные значения функции
После преобразования этого выражения, получим
или
Таким образом, интерполяционный многочлен Лагранжа для заданной табличной функции имеет вид
Вычислим значение функции для заданного аргумента
Следовательно, 
.
Задача №2
Задание. Дана таблица значений функции . Используя метод наименьших квадратов, подобрать для заданных значений и 
1) линейную функцию 
;
2) квадратичную функцию 
.
X | 0.5 | 1.0 | 1.5 | 2.0 | 2.5 | 3.0 |
Y | 0.31 | 0.82 | 1.29 | 1.85 | 2.51 | 3.02 |
Решение. Пусть для неизвестной функции в точках 
экспериментальным путем получены значения 
. Интерполяция позволяет аппроксимировать таблично заданную функцию с помощью более простой функции . При этом требуется выполнение в узлах интерполяции 
равенства 
(
). В ряде случаев выполнение этого условия затруднительно или даже нецелесообразно. При большом числе узлов интерполяции степень интерполирующего многочлена получается высокой. Поэтому точность такой аппроксимации гарантирована лишь в небольшом интервале порядка несколько шагов сетки. Для другого интервала приходится заново вычислять коэффициенты интерполяционной формулы. В практических приложениях желательно иметь единую приближенную формулу 
(), пригодную для большего отрезка . При этом точность приближения может оцениваться по разному. В основу обычно берется рассмотренное отклонение
|
Из за большого объема этот материал размещен на нескольких страницах:
1 2 3 4 5 6 7 8 |
