(
).
В связи с этим возникает задача приближения таблично заданной функции 
многочленом 
, который имеет не слишком высокую степень 
и дает в некотором смысле разумную точность аппроксимации.
Для решения этой задачи воспользуемся методом наименьших квадратов. В методе наименьших квадратов за меру отклонения многочлена 
от функции принимается их среднее квадратичное отклонение
.
Задача состоит в том, чтобы в аппроксимирующем многочлене 
подобрать коэффициенты 
так, чтобы минимизировать 
Так как коэффициенты 
выступают в роли независимых переменных функции 
, то необходимым условием минимума является равенство нулю всех частных производных 
, 
, …,
. Приравнивая к нулю эти частные производные получим систему уравнений
После преобразования система принимает вид
Определитель этой системы отличен от нуля, поэтому эта система имеет единственное решение .
1) Аппроксимируем таблично заданную функцию 
линейной 
.
Составим систему для определения 
Предварительно вычисляем 
, 
, 
, 
Следовательно, 
Решая эту систему, находим 
и 
: 
, 
.
Искомый многочлен 
.
2) Аппроксимируем таблично заданную функцию квадратичной функцией 
.
Составим систему для определения 
Предварительно вычисляем
,
,
,
,
, 
,
Получим систему уравнений вида
Решая эту систему, находим 
,
и 
:
, 
, 
.
Искомый многочлен 
Задача №3
Задание. Получить приближенное решение системы методом простой итерации с точностью 0.01.
Решение. Пусть дана система линейных уравнений
(1)
Введя в рассмотрение матрицы
, 
, 
.
систему (1) можно записать в виде матричного уравнения
. (2)
Предполагая, что диагональные коэффициенты 
, разрешим первое уравнение системы (1) относительно 
, второе – относительно 
и т. д. Тогда получим эквивалентную систему
(3)
где 
, 
при 
и 
при 
Введя матрицы
, 
,
систему (3) можем записать в матричной форме
. (4)
Для решения системы (4) применим метод последовательных приближений. За начальное приближение принимаем, например, столбец свободных членов 
.
Далее, последовательно строим матрицы-столбцы
, 
,…. , 
, …
Если последовательность приближений 
имеет предел
,
то этот предел является решением системы (4) и, cледовательно, решением равносильной системы (1).
Для того чтобы процесс итераций сходился к единственному решению этой системы, независимо от выбора начального приближения, необходимо выполнение для приведенной системы (3) по меньшей мере одного из условий (достаточное условие сходимости метода итераций)
или
.
Приведем заданную систему уравнений к виду (3)
В качестве начального приближения возьмем систему чисел 
; 
; 
.
После первого шага получим:
После второго: 
Дальнейшие вычисления располагаем в таблице 1:
Таблица 1
|
|
|
|
0 1 2 3 4 5 6 | 1.2000 1.2000 0.9640 1.0098 0.9975 1.0007 0.9998 | 0.0000 1.0600 0.9440 1.0104 0.9966 1.0009 0.9997 | 0.0000 1.1600 0.9480 1.0144 0.9960 1.0012 0.9997 |
Точное решение (
) практически достигается на 6-ой итерации.
Задача №4
Задание. Отделить корни и найти приближенное решение заданного уравнения с точностью 
методом Ньютона (1) и методом итераций (2).
|
Из за большого объема этот материал размещен на нескольких страницах:
1 2 3 4 5 6 7 8 |
