Находим 
, 
;
.
Положим 
, тогда неравенство (*) примет вид 
, откуда 
, т. е. 
; возьмем 
.
Вычисление интеграла проводим по формуле
,
где 
; 
; 
.
Все вычисления приведены в таблице 3:
Таблица 3
|
|
|
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 | 0.7 0.73 0.76 0.79 0.82 0.85 0.88 0.91 0.94 0.97 1.00 1.03 | 0.88386 0.85572 0.82898 0.80366 0.77973 0.75700 0.73546 0.71501 0.69551 0.67700 0.65937 0.64259 |
Продолжение табл. 3
12 13 14 15 16 17 18 19 20 | 1.06 1.09 1.12 1.15 1.18 1.21 1.24 1.27 1.30 | 0.62657 0.61140 0.59669 0.58272 0.56935 0.55658 0.54431 0.53253 0.52129 |
Таким образом,
.
2) Согласно условию 
, поэтому 
.
Расчетная формула имеет вид
где 
, 
.
Вычисления значения функции запишем в таблице 4:
Таблица 4
|
|
|
0 1 2 3 4 | 1.2 1.25 1.30 1.35 1.40 | 0.1211 0.1520 0.1782 0.2000 0.2176 |
Продолжение табл. 4
5 6 7 8 | 1.45 1.50 1.55 1.60 | 0.2312 0.2410 0.2473 0.2503 |
Следовательно,
.
Задача №7
Задание. Получить численное решение дифференциального уравнения 
, удовлетворяющее заданному начальному условию 
на отрезке 
с шагом 
, методом Эйлера
, 
, 
.
Решение. Задача Коши для обыкновенного дифференциального уравнения, разрешенного относительно производной
(1)
состоит в том, чтобы найти решение этого уравнения, удовлетворяющее начальному условию
. (2)
Простейшим численным методом решения задачи Коши является метод Эйлера, называемый иногда методом ломаных Эйлера.
Пользуясь тем, что в точке 
известно и значение решения и значение его производной 
, можно записать уравнение касательной к графику искомой функции 
в точке 
:
. (3)
При достаточно малом значении 
ордината
этой касательной, полученная подстановкой в правую часть (3) значения 
, по непрерывности должна мало отличаться от ординаты 
решения 
задачи (1)-(2). Следовательно, точка 
пересечения касательной с прямой 
может быть приближенно принята за новую начальную точку. Через эту точку снова проведем прямую
,
которая уже приближенно отражает поведение касательной к в точке 
. Подставляя сюда 
, получим приближение значения 
значением
и т. д. Продолжая вычисления в соответствии с намеченной схемой, получим формулу Эйлера для решения задачи Коши (1) - (2)
(4)
Геометрический смысл метода Эйлера заключается в том, что интегральная кривая на каждом отрезке 
, 
, …,
заменяется отрезком касательной к интегральной кривой, проходящей через точки 
, а интегральная кривая заменяется ломаной, проходящей через точки 
, 
, …, 
. Эта ломаная называется ломаной Эйлера.
В нашем случае 
Находим последовательные значения аргумента: 
, 
, 
, 
, 
. Вычислим соответствующие значения искомой функции:
Результаты вычислений представим в таблице 5.
Таблица 5
| 0 | 0.1 | 0.2 | 0.3 | 0.4 |
| 1 | 1.1 | 1.22 | 1.362 | 1.5282 |
БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК
1. Данко математика в упражнениях и задачах / , , . - М.: Высш. шк., 1999. Ч. 2. 415 c.
2. Демидович вычислительной математики / , . – М: Наука, 1970. 664 с.
3. Воробьева по вычислительной математике / , . – М: Высш. шк., 1990. 207 с.
4. Вержбицкий методы / . – Высш. шк., 2001. 382 с.
5. Копченова математика в примерах и задачах / , . – М: Наука, 1972.
6. Пискунов и интегральное исчисления / . - М.: Наука, 1977. Т. 1,2.
СОДЕРЖАНИЕ
1. | Общие рекомендации студенту-заочнику к изучению курса «Методы вычислений в машиностроении» . . . . . | 1 |
2. | Правила выполнения и оформления контрольных работ | 3 |
3. | Программа курса “Методы вычислений в машиностроении” для студентов - заочников специальностей “Металлообрабатывающие станки и комплексы” и “Технология машиностроения” . . . . . . . . | 3 |
4. | Вопросы для самопроверки к контрольной работе. . . . . | 5 |
6. | Контрольная работа. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . | 6 |
8. | Примеры решения задач к контрольной работе. . . . . . . | 16 |
Библиографический список. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . | 43 | |
МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ
к контрольной работе
по дисциплине «Методы вычислений
в машиностроении» для студентов направления
подготовки бакалавров 151900 «Конструкторско-технологическое обеспечение машиностроительных производств» (профили «Металлообрабатывающие
станки и комплексы», «Технология машиностроения»)
заочной формы обучения
Составители:
В авторской редакции
Компьютерный набор
Подписано в печать 15.01.2013.
Формат 60´84/16. Бумага для множительных аппаратов.
Усл. печ. л. 2,9. Уч.-изд. л. 2,7. Тираж 50 экз. “C” .
Зак. №
ФГБОУ ВПО “Воронежский государственный технический университет”
394026 Воронеж, Московский просп., 14
|
Из за большого объема этот материал размещен на нескольких страницах:
1 2 3 4 5 6 7 8 |
