Лекция 2. Простейшие кредитные сделки (стр. 3 )

Авансированные кредитные сделки. Рассмотрим теперь более подробно сделку с авансированной выплатой процентов. В этом случае должник берет (в момент t0 ) в долг сумму P - сумму кредита, однако проценты теперь должны быть выплачены немедленно. Пусть сумма процентов в этой сделке равна I. Это значит, что на самом деле должник реально получает не сумму P , а меньшую сумму

S 0 = P - I.

Следовательно, по отношению к сумме кредита P выданная сумма S0 меньше ее на величину I, так что реально I есть дисконт D, т. е. скидка с (основной) суммы долга P, которая в этом случае становится возвращаемой суммой S1 долга. Представляющий поток сделки в этом случае будет иметь вид

CF = {(t0, P - I), (t1, P)}.

Если теперь от абсолютных (денежных) характеристик (сумм) сделки перейти к относительным (ставкам), то, определяя ставку сделки как отношение авансом выплаченных процентов I к сумме кредита, т. е. как величину I/P , мы получим, что эта характеристика есть в точности учетная ставка w за период сделки. Так, если сумма годового кредита P равна $100000, а стоимость кредита равна 10% годовых, выплачиваемых авансом, то должник должен немедленно выплатить из суммы кредита проценты, равные

I = 0,1.100000 =10000 ($),

так что реально на руки он получает лишь сумму S0, равную P - I = $90000.

В случае процентов уплачиваемых в конце срока сумма кредита полностью выдается в начале срока, т. е. S0 =P, и поэтому ставка сделки за период интерпретируется как процентная ставка. В случае же авансированных процентов в начальный момент времени выплачивается меньшая (дисконтированная) сумма S0<P, тогда как основная сумма долга P теперь выплачивается в конце срока, т. е. S1=P и ставка сделки естественным образом будет интерпретироваться как учетная ставка.

Заметим что, в конечном счете, с формальной точки зрения мы имеем лишь две реально выплачиваемые суммы (т. е. два фактических события) сумму S0 - выданного кредита, и S1 - сумму его погашения. Доход с точки зрения кредитора или расход с точки должника есть разность S1 - S0. Когда считать эту сумму выплаченной, и к какой базе (т. е. к S0 или S1) ее относить, вообще говоря, дело вкуса. Реально для сделки обе ставки, как процентную, так и учетную легко найти одновременно. Это лишь взаимно-дополнительные относительные (в отличие от абсолютных, денежных) характеристики сделки.

Однако на практике имеется естественным образом возникающая асимметрия, обусловленная конкретным видом сделки. Как мы увидим ниже, кредитные сделки обычно воплощаются в виде сделок с уже упоминавшимися специальными финансовыми активами – долговыми ценными бумагами. Одной из характеристик этих ценных бумаг является их номинал F, который по смыслу совпадает с основной суммой долга. При этом в так называемых процентных бумагах этот номинал играет роль выданной суммы кредита, т. е. S0, тогда как в дисконтных бумагах он играет роль суммы погашения S1. Поэтому в сделках с дисконтными бумагами учетная ставка появляется столь же естественно как процентная ставка в процентных бумагах или в банковских депозитах.

2.4. Многопериодные модели кредитных сделок. Реинвестирование процентов.

Выше мы рассматривали исключительно индивидуальные кредитные сделки с фиксированным сроком. На практике сделка может быть продлена на новый период. И здесь возможны два способа продления. Кредитор (например, вкладчик банка) продлевает кредит (вклад) на новый срок, продолжая получать проценты на первоначально инвестированный капитал (возможно по другой процентной ставке). В другом случае кредитор (например, банк) получив сумму погашения долга, т. е. завершив сделку, открывает новую сделку, выдавая всю полученную сумму в качестве кредита. В этом случае говорят о реинвестировании полученной суммы погашения. Естественно, что как срок, так и ставка новой сделки, в которую вкладываются полученные от начальной сделки средства, могут отличаться от соответствующих начальных значений.

Пусть t0 , t1 , T1 – временные и P = S0, S = S1 – финансовые параметры первой, а
t1 , t2 , T2 – временные и S1 , S2 – финансовые параметры второй сделки. Тогда для первой схемы имеем

S1 = S0+ S0r1= S0(1+r1) и S2 = S0+ S0r1+ S0r2 =S0(1+r1+r2),

где r1 , r2 –ставки за период первой и второй сделки соответственно.

Для случая реинвестирования

S1 = S0+ S0r1= S0(1+r1) и S2 = S1+ S1r2= S1(1+r2)

Подставляя выражение для S1 из первого уравнения во второе, получим:

S2 = S0(1+r1)(1+r2)

Подчеркнем еще раз, что в описанной выше схеме реинвестирования сумма погашения S1 первой сделки реинвестируется полностью, т. е. она является начальной суммой долга для второй сделки.

Продление сделки может осуществляться многократно. Если через

t0 , t1 , t2 , … , tn

обозначит критические моменты последовательных кредитных сделок, через

T1, T2, … , Tn

- сроки этих сделок, а через

S0, S1, S2, … ,Sn

- последовательные значения капитала, то

для первой схемы S n = S0(1+ r1+ r2+…+ rn) (2.12)

для второй схемы S n = S0(1+ r1)(1+ r2)∙∙∙(1+ rn), (2.13)

где r0, r1, …, rn - последовательные ставки сделок за периоды [t0, t1] , [t1, t2], …, [tn-1, tn].

В случае, когда сроки и ставки всех сделок совпадают:

T1 = T 2 = …= Tn =T и r 0 = r1 = r 2 = … = rn = i

получим

S n = S0(1+ inT) (2.14)

S n = S0(1+ iT)n (2.15)

Формула (2.14) является формулой для вычисления наращенной суммы многопериодной сделки в схеме простых процентов. В этом случае проценты начисляются только на первоначально инвестированный капитал (независимо от числа периодов n в сделке).

Формула (2.15) есть простейший вид формулы сложных процентов. По существу все модели реинвестирования относятся к схеме сложных процентов, поскольку в них проценты за каждый следующий период начисляются не только на начальный капитал P = S0, но и на проценты, начисленные за предыдущие периоды.

Пример 2.3. По кредитному договору на сумму 3000 руб. в течение 4-х лет начисляются простые проценты по ставке 3% за первое полугодие, 3,5% за второе полугодие, 10% за второй год и 24% за оставшиеся 2 года, при этом накопленные к концу очередного периода начисления суммы реинвестируются. Найти наращенную сумму к концу срока сделки и процентную ставку за период сделки.

Решение. Пусть начальный момент сделки равен t0 = 0. Накопленная по ставке
r1 = 0,03 к моменту времени t = 0,5 сумма вкладывается на следующие полгода по ставке
r2 = 0,035. Затем накопленная к моменту t = 1 сумма вкладывается на год по ставке r3 = 0,1 и, наконец, сумма, накопленная к моменту t = 2, вкладывается на 2 года по ставке r4 = 0,24 . Тогда по формуле (2.13) получаем

S4 = 3000(1+ 0,03)(1+ 0,035)(1+ 0,1)(1+ 0,24) = 4362,28 (R).

Процентная ставка за период сделки:

r = (4362,28-3000)/3000 = 0,4541

или 45,41 %. █

2.5. Нормированные процентные и учетные ставки

Процентная ставка r, определенная выше, является относительным показателем доходности кредитной сделки, учитывающим как процент I, так и вложенную сумму P, на основе которой он был получен, и относится ко всему периоду сделки. На практике чаще используется другой вид процентной ставки, относящийся к некоторому выбранному базовому промежутку времени – в экономике и финансах это обычно год, но в зависимости от конкретных условий может быть выбран любой другой период времени. Выбор базового промежутка позволяет привести или, как еще говорят, нормировать процентную ставку сделки. Нормировку процентной ставки можно провести, рассматривая кредитную сделку как многопериодную (с периодом равным базовому промежутку времени) в схеме простых и в схеме сложных процентов. В соответствии с этим приняты два способа нормировки.

Определение 2.3. Отношение

i = r/T (2.16)

называется простой нормированной процентной ставкой сделки. Здесь T = t1 -t0 есть срок сделки, выраженный в единицах базового периода. Соответствующий коэффициент роста

a = 1+ i, (2.16’)

называется нормированным (годовым) коэффициентом роста.

Дадим формальное определение сложной нормированной (эффективной) ставки сделки.

Определение 2.4. Величина

iэф = (1 + r)1/T – 1 (2.17)

называется сложной нормированной ставкой кредитной сделки. Здесь T = t1-t0 есть срок сделки, выраженный в единицах базового периода, r – процентная ставка сделки.

Вывод формулы (2.17) и ее интерпретация будут даны в следующей главе.

Соотношение между ставкой за период сделки и нормированной ставкой можно изобразить диаграммой (рис. 2.2)

Рис. 2.2

С финансово-экономической точки зрения простая нормированная процентная ставка представляет собой для кредитора доход c единицы суммы кредита в единицу времени, а для заемщика - стоимость единицы суммы долга за единицу времени. Подразумеваемый в определении нормированной процентной ставки базовый период часто выражают в форме соответствующего прилагательного – так говорят о годовой, месячной и других процентных ставках, опуская, если это возможно, слова «простая» и «нормированная».