Модифицированное равновесие как инструмент анализа лабораторных рынков (стр. 2 )

Определение. Пусть имеется последовательность случайных ошибок , для которых для вероятность при , для каждого существует равновесие Нэша в модифицированной игре , и последовательность равновесий сходится, тогда ее предел будем называть модифицированным равновесием.

Далее в данной главе производится сравнение модифицированного равновесия с концепциями равновесий из теории игр.

В отличие от точного равновесия (perfect equilibrium) и истинного равновесия (proper equilibrium) модифицированное равновесие вводится для игр, у которых множества действий игроков — выпуклые компакты. В отличие от этих равновесий в модифицированном равновесии ошибка ожидается почти всегда, но сама величина ошибки мала. Подобное возможно, т. к. модифицированное равновесие вводится для игр с выпуклыми множествами действий. Если же модифицированное равновесие рассмотреть для смешанного расширения дискретной игры, то в этой игре оно совпадет с точным равновесием.

В сравнении с квантильным равновесием (QRE) можно сказать, что модифицированное равновесие относится к тому же классу «поведенческих равновесий». Но оно существенно отличается от него в первую очередь тем, что модифицированное равновесие основано на понятии близости стратегий, то есть «ошибка» добавляется к самим стратегиям в отличие от QRE, где «ошибка» добавляется к значению функции выигрыша игрока.

QRE первоначально вводилось для игр с дискретным множеством действий. Обобщение QRE на случай игр с выпуклыми компактными множествами действий приводит к необходимости даже в простых играх искать решения дифференциального уравнения. Данная задача становится еще более сложной, если рассмотреть байесовскую игру с приватной информацией, в которой стратегии — это функции, отображающие тип игрока на множество действий. Поиск же модифицированного равновесия является более простой задачей, для простых аукционных игр он заключается в поиске решения алгебраического уравнения, для байесовской игры — в поиске решения дифференциального уравнения.

Во второй главе исследуются основные математические свойства модифицированного равновесия.

Достаточные условия того, что при определенных условиях модифицированное равновесие является равновесием Нэша, дает

Теорема 1. Если в игре для функций выигрыша каждого игрока выполнены следующие условия:

1.  функция выигрыша полунепрерывна сверху,

2.  и , найдется такой что функция выигрыша -го игрока непрерывна в точке и ,

то модифицированное равновесие будет равновесием Нэша.

Приводятся доказательство теоремы и примеры, показывающие, что оба условия теоремы существенны. Рассмотрим пример игры, для которой не выполнено первое условие теоремы (функции выигрыша не везде непрерывны сверху), в этой игре существует модифицированное равновесие, но оно не является равновесием Нэша.

Пример 1. Двойной аукцион без равенства заявок. Игроки (покупатель (B) и продавец (S)) одновременно подают заявки — числа . Функции выигрышей участников определяются так:

.

В этой игре существует единственное равновесие Нэша однако имеется модифицированное равновесие .

Рассматривается пример, когда первое условие про непрерывность функций выигрыша игроков выполнено, но не выполнено второе.

Пример 2. Почти совпадающие интересы. Два игрока 1 и 2 выбирают действия: . Функции выигрышей:

.

В этой игре существует единственное равновесие Нэша и имеется единственное модифицированное равновесие , .

Приводится поиск модифицированного равновесия. Для этого берется некоторая ошибка с непрерывными функциями плотности распределения вероятности для и : и , соответственно. Модифицированные функции выигрыша записываются следующим образом:

.

Для второго игрока модифицированная функция выигрыша получается такой же. Если ,  — равновесие в модифицированной игре, тогда:

Отсюда получается, что единственное равновесие в модифицированной игре: Значит, модифицированное равновесие тоже единственное и такое же: и , и оно отлично от равновесия Нэша , .

Справедлива теорема существования модифицированного равновесия для выпуклых игр.

Теорема 2. Если в игре функции выигрыша непрерывны по и вогнуты по , то тогда в каждой модифицированной игре существует равновесие Нэша, а в игре существует модифицированное равновесие.

Формулируются достаточные условия того, что равновесие Нэша является модифицированным равновесием.

Теорема 3. Если — строгое равновесие Нэша в игре , и для функции выигрыша являются достаточно гладкими в точке и матрица — невырожденная и , то будет модифицированным равновесием.

Приводятся доказательство последних двух теорем и примеры, показывающие, что условия теоремы 3 существенны.

Пример 3. Игра двух лиц, .

В этой игре равновесие Нэша — , но для любой несмещенной ошибки в модифицированной игре нет равновесия Нэша в чистых стратегиях, а значит, и нет модифицированного равновесия.

В данной игре оптимальные ответы: , имеют единственную точку пересечения , в которой их графики касаются друг друга.

При добавлении несмещенной ошибку в модифицированной игре оптимальный ответ первого игрока изменится: , а второго игрока останется тем же . В результате, оптимальные ответы перестают пересекаться даже при маленьких ошибках, т. е. в любой модифицированной игре не существует равновесия Нэша, а значит, в самой игре нет модифицированного равновесия.

В третьей главе модифицированное равновесие применяется к различным аукционным играм. Оно сравнивается с другими равновесиями из теории игр и экспериментальными данными, полученными в лабораторных экспериментах.

Вначале рассматривается класс игр, в которых выигрыш игрока зависит от того, будет ли его заявка больше, чем у другого игрока или нет. Игра двух лиц, в которых действиями игроков являются отрезки: . Выигрыш игрока, когда его действие меньше действия другого игрока, равен . И наоборот, когда больше — . Такие игры в работе называются аукционными.