Модифицированное равновесие как инструмент анализа лабораторных рынков (стр. 3 )

Далее рассматриваются аукционные игры с функциями выигрыша определенного вида: и .

Берется некоторая ошибка с функцией плотности вероятности и модифицированные функции выигрыша для данной игры записываются так:

Хотя функции выигрыша в исходной игре разрывные, модифицированные функции выигрыша оказываются гладкими и достаточно хорошими для того, чтобы равновесие Нэша в модифицированной игре существовало и было единственно. Точнее, верна следующая теорема.

Теорема 4. В аукционной игре , в которой функции выигрыша игроков заданы: , а функции — непрерывные, — гладкие, и не возрастают, а не убывает. В данной игре существует равновесие Нэша в модифицированной игре. Для ошибки с симметричной функцией плотности распределения равновесие единственное и симметричное.

Равновесие находится следующим образом.

Если , то равновесие Нэша в модифицированной игре соответствует точке , и оно единственное.

Если , то равновесие Нэша в модифицированной игре соответствует точке , и оно единственное.

В остальных случаях существует точка , в которой уравнение имеет решение, которое является единственным равновесием Нэша в модифицированной игре.

Далее в работе рассматриваются следующие аукционные игры (в скобках приведены работы, в которых приводятся результаты лабораторных экспериментов по данным играм):

·  Дилемма путешественника, Traveler's Dilemma (Capra, 1999)

·  Координационная игра по минимизации затрат, Minimum-effort Coordination Game (Goeree и Holt, 1999)

·  Пространственная конкуренция, Spatial Competition

·  Модель Бертрана, Bertrand Competition in a Procurement Auction (Dufwenberg и Gneezy, 1998)

·  Модель конкуренции фирм при наличии лояльности у покупателей, Imperfect Price Competition with Meet-or-Release Clause (Capra, 2000)

·  Игра компромиссов, The Compromise Game (Carrillo и Palfrey, 2006)

В данных играх равновесие Нэша обладает рядом недостатков, которых нет у равновесия в модифицированной игре:

·  В некоторых играх имеется бесконечно много равновесий Нэша.

·  В некоторых — равновесие Нэша противоречит здравому смыслу и лабораторным экспериментам.

·  В других — равновесие Нэша не зависит от параметров, определяющих игру, что также противоречит здравому смыслу и лабораторным экспериментам.

Равновесие в модифицированной игре не обладает данными недостатками.

Рассмотрим первую игру Дилемма Путешественника:

Пример 4. Каждый из двух игроков самостоятельно выбирает сумму от до долларов, которую он считает справедливой компенсацией морального ущерба от задержки рейса. Обоим игрокам выплачивается меньшая из выбранных ими сумм. Игрок, выбравший большую сумму, передает игроку, выбравшему меньшую сумму, долларов в виде штрафа за жадность.

Равновесие Нэша в этой игре единственно и совпадает со скромными заявками в размере в то время как социальное поведение диктует выбор максимальных заявок для обоих участников. Неправдоподобность прогнозирования на основе равновесия Нэша базируется на том, что даже малые значения штрафа/вознаграждения могут привести к результату, минимизирующему суммарный и индивидуальный выигрыш игроков. Действительно, равновесие Нэша не зависит от размера штрафа, однако интуиция подсказывает нам, что поведение игроков должно быть близким к равновесию Нэша только при высоких значениях штрафа и быть близким к социальному поведению при уменьшении штрафа практически до нуля.

Данное интуитивное предположение подтвердили лабораторные эксперименты, проведенные в Вирджинском университете и повторенные в Лаборатории экспериментальной экономики МФТИ. Поведение, близкое к равновесию Нэша, наблюдалось в лабораторных экспериментах только при крупных штрафах . При малых штрафах участники эксперимента тяготели к максимальным заявкам . Объясним этот эффект зависимости исхода игры ДП от величины штрафа с помощью модификации принципа Нэша о наилучшем ответе.

Рис. 1. Среднее значение заявок в экспериментах и модифицированное равновесие

В Лаборатории экспериментальной экономики МФТИ со студентами были проведены эксперименты, повторяющие эксперименты проведенные в Вирджинском университете. Для проведения экспериментов была написана программа с помощью системы Z-tree, разработанной в университете Цюриха. Результаты проведенных экспериментов подтвердили на качественном уровне актуальность модифицированного равновесия. В экспериментах брались следующие параметры: Для каждого значения штрафа рассчитывалось равновесие в модифицированной игре. Дисперсия для нормально распределенной ошибки подбиралась максимизацией функции правдоподобия для каждого значения штрафа . Результаты экспериментов представлены на рис. 1, из которого видно, что при маленьких значениях штрафа действия игроков сильно отличаются от равновесия Нэша, а равновесие в модифицированной игре более корректно описывает поведение игроков, близкое к социальному поведению.

Как видно, поведение игроков сильно различается в играх с разными значениями параметра , хотя равновесие Нэша для исходной игры не зависит от величины штрафа . Модифицированное равновесие позволяет описать данную зависимость. С увеличением равновесия в модифицированных играх уменьшаются, также как и средние действия игроков.

Пример 5. Координационная игра. Два игрока делают вклад в общее дело. Эффект от него определяется по минимальному из вкладов, т. е. выигрыш игрока записывается в виде , где .

В данной игре бесконечно много равновесий Нэша. Любая пара стратегий является равновесием Нэша. Множество равновесий Нэша не зависит от параметра . Согласно экспериментам, проведенным Goeree и Holt, в которых заявки были ограничены отрезком , при увеличение затрат с до наблюдалось снижение средних заявок со до .

Равновесие в модифицированной игре лучше описывает экспериментальные данные, оно единственно и убывает с ростом затрат .

Пример 6. Аукцион Бертрана. продавцов подают заявку на продажу единицы товара. Сделка произойдет только с одним из них, назначившим меньшую цену. Его выигрыш будет равен цене, по которой он продал товар. Выигрыш остальных игроков будет нулевым.

Равновесие Нэша не зависит от количества игроков и согласно ему цена должна стремиться к издержкам (в нашем случае к нулю) даже в случае игры с двумя продавцами. В лабораторных экспериментах, проведенных Dufwenberg и Gneezy, в которых цены выбирались из отрезка , получены следующие результаты:

Количество продавцов
Средние цены продаж, наблюдаемые в экспериментах	26.4	19.0	15.2

Данная зависимость также описывается с помощью равновесия в модифицированной игре.

Пример 7. Двойной аукцион.

, а