В данной игре бесконечно много равновесий Нэша. Но равновесие в модифицированной игре единственное. Оно имеет следующий вид: 
, 
А само модифицированное равновесие симметрично 
, 
, что соответствует интуиции для симметричной игры.
Сетевые рынки.
Характерной особенностью сетевого рынка является отсутствие возможности у продавца и покупателя взаимодействовать друг с другом непосредственно, а только через транспортную сеть. Транспортная сеть представляет ориентированный граф, в вершинах которого расположены продавцы и покупатели, ребра соответствуют третьему типу агентов — транспортировщикам, а направление показывает, в какую сторону может передаваться продукт.
1. Покупатель (Buyer) хочет приобрести N единиц продукта на рынке для конечного использования. Он обладает некоторыми выкупными стоимостями товара 
, и выигрыш его в случае приобретения k>0 единиц товара равняется 
, где 
– это цена, по которой была куплена i-я единица товара. Если покупатель не приобрел продукт, то его выигрыш равен нулю. Выкупная стоимость товара является случайной величиной, которая реализуется в момент начала аукциона. Только покупатель знает реализации выкупных стоимостей. Другим участникам известно распределение.
2. Продавец (Seller) обладает N единицами неделимого продукта и готов продать их на рынке. Издержки продавца: 
. Прибыль в случае продажи k>0 единиц, равна 
, где 
— цена, по которой была продана i-я единица товара. В случае если продавец ничего не продал, его выигрыш равен нулю.
3. Транспортировщик (Transporter) может доставить N единиц товара из одной вершины в другую. Издержки за транспортировку: 
. Прибыль при транспортировке k единиц равна 
, где 
— цена транспортировки из одной вершины в другую. В случае если транспортировщик ничего не перевозит, то выигрыш его равен нулю.
Опишем механизм заключения сделки. Все участники независимо друг от друга выставляют заявки: продавец на каждую единицу товара выставляет величину, за которую он готов ее продать; транспортировщик на каждую единицу товара, которую он может перевезти, выставляет величину, за которую он готов это сделать; покупатель на каждую единицу, которую он может купить, выставляет максимальную цену, за которую он еще готов купить.
Пример 8. STB. Простейший сетевой аукцион.
После того, как поданы все заявки, определяется следующая величина: 
. Если она неотрицательна: 
, т. е. покупатель готов заплатить за товар больше, чем в сумме просят транспортировщик и продавец, то сделка заключается. В противном случае сделка не происходит.
В случае заключения сделки () цены определяются следующим образом:
, 
, 
.
В данной игре существует бесконечно много равновесий Байеса–Нэша следующего вида:
, 
, 
.
Можно показать, что 
, 
, 
являются равновесием Байеса–Нэша для любых 
, 
, 
, удовлетворяющих следующему условию: 
.
Для расчета равновесия в модифицированной игре была написана программа, использующая следующий алгоритм для поиска.
1. Определяем распределение ошибки 
.
2. Берем некоторые начальные условия для заявок: 
, 
, 
.
3. Текущая итерация 
.
4. Ищется оптимальный ответ 
на стратегии других игроков 
, 
в модифицированной игре, т. е. 
.
Ищется оптимальный ответ 
на стратегии других игроков 
, в модифицированной игре, т. е. 
.
Ищется оптимальный ответ 
на стратегии других игроков , в модифицированной игре: 
.
5. Приближение на следующей итерации определяется как
,
,
.
6. 
.
7. Если 
, или 
, или 
, то тогда переходим на 4-ый шаг.
8. Если мы дошли до этого шага, то решение для данной ошибки найдено с точностью 
.
Далее берется несмещенная нормально распределенная ошибка 
с дисперсией 
. Были рассчитаны равновесия в модифицированных играх для различных . Оказалось, что независимо от начальных условий алгоритм сходится к одному и тому же равновесию (для упрощенной игры, в которой затраты и выкупная стоимость константы, показывается, что равновесие в модифицированной игре единственно).
В Лаборатории экспериментальной экономики МФТИ с помощью написанных программ для системы Z-tree были проведены эксперименты со студентами.
На графиках рис. 2 – рис. 3 (график для заявок транспортировщика не приводятся, т. к. он схож с графиком заявок продавца) приведены равновесия для модифицированной игры при 
, 
, 
(кривые на графиках) и поведение игроков в экспериментах (точки на графиках). Значение было взято примерно равным дисперсии заявок игроков в проведенных экспериментах.
Рис. 2. Стратегии продавца и заявки участников
Рис. 3. Стратегии покупателя и заявки участников
На рис. 4 приведены два распределения: нормальное распределение (St) и эмпирическое распределение разности заявок игроков и заявок согласно равновесию в модифицированной игре (Pl). Чем ближе две кривые, тем более схожи заявки игроков и «зашумленные» заявки в равновесии модифицированной игры. Графики для транспортировщика и продавца аналогичные и здесь не приводятся. Из графика видно, что поведение игроков неплохо согласуется с поведением в равновесии для модифицированной игры.
Рис. 4. Отклонения заявок продавца от равновесия и нормальное распределение
Пример 9. TRUE
В данной игре бесконечно много равновесий Нэша. Но равновесие в модифицированной игре единственно.
T | TR | R | U | UE | E | |
Равновесие в модифицированной игре | 53 | 48 | 103 | 101 | 59 | 168 |
Средние заявки в эксперименте | 64 | 40 | 104 | 107 | 55 | 165 |
Были проведены эксперименты в Лаборатории экспериментальной экономики МФТИ. Результаты одного из них приводятся в таблице вместе с рассчитанным равновесием в модифицированной игре. Равновесие в модифицированной игре качественно согласуется с экспериментальными данными.
В заключении изложены основные результаты диссертации.
ОСНОВНЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ РАБОТЫ
1. Введена новая концепция равновесия для игр с выпуклыми и компактными множествами действий — модифицированное равновесие.
2. Установлены и доказаны свойства модифицированного равновесия:
· модифицированное равновесие является равновесием Нэша для ряда игр с разрывными функциями выигрыша специального вида;
· достаточные условия существования модифицированного равновесия.
3. С помощью концепции и математической модели модифицированного равновесия проинтерпретированы результаты проведенных лабораторных экспериментов для аукционных и сетевых игр. Подтверждена целесообразность введения модифицированного равновесия.
4. На основании предложенной математической модели разработаны алгоритм и комплекс программ для проведения вычислительных экспериментов, имитирующих поведение экономических агентов в сетевых играх.
5. Разработан комплекс программ для проведения лабораторных экспериментов, результаты которых используются при исследовании поведения участников аукционных и сетевых игр.
Список публикаций автора по теме диссертации:
1) Яминов равновесие и его свойства // Труды Московского физико-технического института (государственного университета) — М., 2010. — Т.2. № 3. — С. 96–114.
2) Яминов равновесие для сетевого аукциона STB // Сборник научных трудов МФТИ «Информационные технологии: модели и методы». — М., 2010. — С. 73–83.
3) Яминов равновесие в лабораторных сетевых рынках // Математические методы распознавания образов. Доклады 13-й Всероссийской конференции. — М., 2007 — С. 564–567.
4) Яминов равновесие в лабораторных сетевых рынках // Труды 51-й научной конференции МФТИ «Современные проблемы фундаментальных и прикладных наук». Часть VII. Управление и прикладная математика. — М.: МФТИ, 2008. — Т.1. — С. 70–73.
5) Яминов модифицированного равновесия // Труды 52-й научной конференции МФТИ «Современные проблемы фундаментальных и прикладных наук». Часть VII. Управление и прикладная математика. — М.: МФТИ, 2009. — Т 1. — С. 100–102.
6) Яминов равновесие и его свойства // Труды VI Московской международной конференции по исследованию операций (ORM2010). — М.: МАКС Пресс, 2010. — С. 359–361.
7) Яминов модифицированного равновесия // Труды 53-й на-учной конференции МФТИ «Современные проблемы фундаментальных и при-кладных наук». Часть VII. Управление и прикладная математика. — М.: МФТИ, 2010. — Т 1. — С. 137–138.
ЯМИНОВ Ринат Ильгизович
Модифицированное равновесие как инструмент
анализа лабораторных рынков
Автореферат
Подписано в печать 20.10.2010. Формат 60х90 1/16.
Усл. печ. л. 1,0. Тираж 80 экз. Заказ № Ф-147.
Государственное образовательное учреждение
высшего профессионального образования
«Московский физико-технический институт (государственный университет)»
Отдел автоматизированных издательских систем «ФИЗТЕХ-ПОЛИГРАФ»
141700, Моск. обл., г. Долгопрудный, Институтский пер., 9
|
Из за большого объема этот материал размещен на нескольких страницах:
1 2 3 4 |
