4.2.1. Содержание лекционных занятий
Раздел 1. Вычисления с плавающей точкой. Элементы анализа погрешностей и алгоритмов.
Тема 1.1. Запись чисел с плавающей точкой на ЭВМ и выполнение арифметических операций с этими числами.
Запись чисел в нормализованной системе с плавающей точкой на ЭВМ.
Абсолютная и относительная погрешности.
Машинное эпсилон и особенности выполнения арифметических операций в нормализованной системе с плавающей точкой на ЭВМ.
Тема 1.2. Прямой и обратный анализ погрешностей. Корректные и некорректные задачи.
Прямой и обратный анализ погрешностей при вычислениях на ЭВМ. Сравнение этих методов.
Корректные и некорректные задачи. Примеры некорректных задач.
Понятие обусловленности системы и числа обусловленности матрицы системы.
Тема 1.3. Основы оценки объема вычислительных ресурсов. Анализ алгоритмов. Примеры алгоритмов.
Оценка объема вычислительных ресурсов по времени и объему памяти. Символика, применяемая для оценки объема вычислительных ресурсов.
Оценки времени выполнения простейших операций.
Анализ алгоритмов. Примеры алгоритмов: алгоритм Евклида нахождения наибольшего общего делителя двух натуральных чисел, схема Горнера вычисления значения многочлена в точке, алгоритм Штрассена умножения матриц.
Раздел 2. Интерполяция функций. Численное дифференцирование.
Тема 2.1. Задачи аппроксимации и интерполяции. Интерполяционный многочлен в форме Лагранжа. Постоянная Лебега и ее свойства.
Задачи аппроксимации и интерполяции. Интерполяционный многочлен в форме Лагранжа.
Остаточный член интерполяционной формулы Лагранжа. Пример Рунге расходимости интерполяционного процесса.
Постоянная Лебега и ее свойства.
Многочлены Чебышева и их свойства.
Интерполяционные многочлены Лагранжа на чебышевских узлах и константы Лебега на этих узлах.
Тема 2.2. Конечные и разделенные разности. Формула Ньютона.
Конечные разности. Их свойства.
Разделенные разности. Их свойства.
Интерполяционная формула Ньютона и ее свойства.
Тема 2.3. Численное дифференцирование. Сплайны и их применение.
Численное дифференцирование с использованием интерполяционных многочленов. Его недостатки.
Интерполяционные сплайны и их основные свойства.
Применение сплайнов для численного дифференцирования.
Раздел 3. Численное интегрирование.
Тема 3.1. Задача численного интегрирования. Квадратурные формулы Ньютона – Котеса.
Задача численного интегрирования. Квадратурные формулы Ньютона – Котеса.
Квадратурные формулы Ньютона – Котеса на равноотстоящих узлах.
Формулы прямоугольников, трапеций, Симпсона и правило 3/8.
Тема 3.2. Квадратурные формулы максимальной алгебраической точности. Формулы Мелера и Гаусса.
Квадратурные формулы максимальной алгебраической точности.
Ортогональные системы многочленов Чебышева. Формула Мелера.
Ортогональные системы многочленов Лежандра. Формула Гаусса.
Ортогональные системы многочленов Чебышёва – Эрмита и Лагерра для квадратурных формул на бесконечных промежутках.
Квадратурная формула Чебышёва.
Тема 3.3. Оценки погрешности квадратурных формул. Составные квадратурные формулы Ньютона – Котеса.
Оценки погрешности квадратурных формул прямоугольников, трапеций, Симпсона и правило 3/8.
Составные квадратурные формулы Ньютона – Котеса.
Оценки погрешности составных квадратурных формул Ньютона – Котеса.
Оценки погрешности квадратурных формул Мелера и Гаусса.
Раздел 4. Решение нелинейных уравнений.
Тема 4.1. Решение нелинейных уравнений. Метод бисекции.
Задача нахождения корней нелинейных уравнений.
Скорость сходимости метода.
Метод бисекции.
Тема 4.2. Решение нелинейных уравнений. Метод Ньютона и метод секущих.
Решение нелинейных уравнений методом Ньютона и Ньютона – Канторовича.
Решение нелинейных уравнений методом секущих.
Сравнение метода Ньютона с методом секущих.
Тема 4.3. Итерационные методы. Диаграмма Ламерея.
Итерационные методы решения нелинейных уравнений.
Принцип сжатых отображений и оценка погрешности итерационных методов.
Диаграмма Ламерея. Вопросы сходимости итерационных методов.
Раздел 5. Решение систем линейных алгебраических уравнений.
Тема 5.1. Нормы векторов и матриц. Число обусловленности матрицы.
Нормы векторов и матриц.
Число обусловленности матрицы и решение систем линейных алгебраических уравнений.
Тема 5.2. Гауссовское исключение.
Гауссовское исключение.
LU- и LDU-разложения. Решение систем с симметрической матрицей.
Гауссовское исключение с выбором главного элемента и с частичным выбором главного элемента (частичное упорядочение Уилкинсона).
Невязка и итерационное уточнение решения.
Тема 5.3. Итерационные методы решения систем линейных уравнений.
Итерационные методы решения линейных систем и их сходимость.
Метод обычной итерации (метод Якоби).
Метод итерации Гаусса-Зеделя.
Сравнение методов. Использование верхней релаксации.
Раздел 6. Численное решение задачи Коши.
Тема 6.1. Численное решение задачи Коши. Численное решение задачи Коши етод рядов Тейлора.
Задача Коши решения дифференциального уравнения первого порядка.
Задача Коши решения дифференциального уравнения порядка n и системы n дифференциальных уравнений первого порядка.
Решение задачи Коши методом рядов Тейлора.
Тема 6.2. Методы Рунге – Кутты и Рунге – Кутты – Фельберга.
Классические методы Рунге – Кутты.
Экстраполяция по Ричардсону.
Методы Рунге – Кутты – Фельберга.
Тема 6.3. Явные и неявные формулы Адамса. Методы предиктор-корректор.
Многошаговые методы. Явные формулы Адамса.
Неявные формулы Адамса.
Формулы предиктор-корректор.
Жесткие задачи и методы их решения.
4.2.2. Темы лабораторных работ.
1. Лабораторная работа № 1. Вычисления с плавающей точкой. Элементы анализа погрешностей и алгоритмов.
Содержание работы: Освоение пакета Mathcad. Исследование системы записи чисел в системе с плавающей точкой на ЭВМ. Вычисление погрешности округления. Нахождение машинного эпсилон и его использование. Анализ алгоритмов на устойчивость к изменению исходных данных. Изучение простейших алгоритмов.
2. Лабораторная работа № 2. Интерполяция функций. Численное дифференцирование.
Содержание работы: Исследование различных формул полиномиальной интерполяции. Вычисление констант Лебега. Изучение свойств многочленов Чебышева и интерполяции на чебышевских узлах. Рассмотрение примера Рунге расходимости интерполяционного процесса. Вычисление разностей и их использование для построения многочлена Ньютона. Построение сплайнов. Решение задач численного дифференцирования.
3. Лабораторная работа № 3. Численное интегрирование.
Содержание работы: Вычисление различных интегралов с помощью пакета аналитических вычислений Mathcad. Исследование формул Ньютона – Котеса. Исследование формулы Мелера. Исследование формулы Гаусса. Исследование формулы Чебышева. Исследование точности формул Ньютона – Котеса.
4. Лабораторная работа № 4. Решение нелинейных уравнений.
Содержание работы: Рассмотрение методов отделения корней модельных уравнений с использованием пакета Mathcad. Написание процедур для решения нелинейных уравнений методами бисекции, Ньютона и секущих. Применение этих процедур для решения модельных задач и сравнение полученных результатов с результатами решения с помощью Mathcad-процедур. Исследование скорости сходимости различных методов. Исследование бифуркационной диаграммы квадратичного отображения.
5. Лабораторная работа № 5. Решение систем линейных алгебраических уравнений.
Содержание работы: Вычисление с помощью Mathcad норм различных векторов и матриц. Вычисление чисел обусловленности различных матриц. Исследование гаусовского исключения. Исследование метода простой итерации и метода Гаусса – Зейделя.
6. Лабораторная работа № 6. Численное решение задачи Коши.
Содержание работы: Вычисление коэффициентов явных и неявных формул Адамса. Исследование различных численных методов решения задачи Коши на модельных примерах.
5. Образовательные технологии
В ходе освоения дисциплины «Численные методы обработки информации» при проведении аудиторных занятий используется образовательные технологии, предусматривающие такие методы и формы изучения материала как лекция, лабораторное занятие, включающие активные и интерактивные формы занятий:
· Проведение лекции проблемного характера: тема 2.3. Численное дифференцирование. Сплайны и их применение; Тема 6.3. Явные и неявные формулы Адамса. Методы предиктор-корректор.
· Проведение лабораторных занятий в интерактивной форме и публичная защита отчетов по лабораторным работам, работа в малых группах: лабораторные работы № 1 – 6
Занятия, проводимые в активной форме с разбором конкретных ситуаций составляют более 25% от общего количества аудиторных занятий.
|
Из за большого объема этот материал размещен на нескольких страницах:
1 2 3 4 |
