Пример решения итоговой контрольной работы
Вариант 4
1. В бригаде 6 человек: 4 мужчин и 2 женщины. Наугад по списку выбираются двое для дежурства в праздничный день. Какова вероятность того, что это: 1) мужчины; 2) женщины; 3) хотя бы одна женщина.
2. Два стрелка делают по одному выстрелу в мишень. Вероятность попадания первого стрелка – 0,9; второго стрелка – 0,8. Найти вероятность того, что: а) в мишень попадет только один стрелок; б) мишень будет поражена.
3. Найти вероятность того, что при 4 бросках игральной кости «шестерка» выпадет: 1) ровно 1 раз; 2) ровно 2 раза; 3) хотя бы один раз.
4. Дискретная случайная величина задана таблицей.
х | 0 | 1 | 2 | |
p | 0,81 | 0,18 | 0,01 |
Найти ее математическое ожидание, дисперсию, трехсигмовый интервал и вынести их на многоугольник распределения.
5. Дан дискретный вариационный ряд
xi | 2 | 4 | 6 | 8 | 10 |
ni | 4 | 6 | 5 | 3 | 1 |
Найти оценки меры центральной тенденции и оценки меры изменчивости. Построить эмпирическую функцию распределения.
6. Дан интервальный ряд.
ai – ai+1 | 2 – 4 | 4 – 6 | 6 – 8 | 8 – 10 | 10 – 12 |
ni | 1 | 3 | 7 | 5 | 2 |
Построить гистограмму. Найти моду по гистограмме. Построить кумуляту. Найти медиану по кумуляте.
Решение
Задача 1
В бригаде 6 человек: 4 мужчин и 2 женщины. Наугад по списку выбираются двое для дежурства в праздничный день. Какова вероятность того, что это: 1) мужчина и женщина; 2) мужчины; 3) хотя бы одна женщина.
Так как в задаче идет речь о неупорядоченном выборе элементов, значит ее можно отнести к классу урновых задач.
Урновые задачи решаются по классическому определению вероятности (см. п. 5) с использованием формулы числа сочетаний без повторений (см. п.4).
Пусть событие 
– выбраны мужчина и женщина; 
– выбраны 2 мужчин; 
– выбрана хотя бы одна женщина.
Общее число исходов эксперимента – есть число способов, сколькими из 6 элементов (человек) можно выбрать одновременно 2. Это число находится как 
по свойству №6 (см. п. 4).
Число благоприятствующих исходов для события найдется как произведение числа способов выбрать из 4-х мужчин 1 – 
и числа способов выбрать из 2-х женщин 1 – 
. То есть 
(см. свойство № 3).
Тогда вероятность события по классическому определению найдется как:
.
Число благоприятствующих исходов для события 
найдется как произведение числа способов выбрать из 4-х мужчин 2 – 
и числа способов выбрать из 2-х женщин 0 – 
. То есть 
(см. свойства № 1,6).
Тогда вероятность события по классическому определению найдется как:
.
Вероятность события найдем от обратного. Противоположное событие 
означает, что женщин не выбрано вовсе. Но это значит, что выбраны только мужчины. Значит 
. Так вероятность события известна, воспользуемся формулой:
.
Задача 2
Два стрелка делают по одному выстрелу в мишень. Вероятность попадания первого стрелка – 0,9; второго стрелка – 0,8. Найти вероятность того, что: а) в мишень попадут оба стрелка; б) в мишень попадет только один стрелок; в) мишень будет поражена.
Пусть событие С – в мишень попадут оба стрелка. Введем события: 
– в мишень попадет первый стрелок; 
– в мишень попадет второй стрелок. Согласно условию: 
;
.
Заметим, что событие С означает следующее: в мишень попадет первый стрелок и второй стрелок одновременно. Тогда 
. Найдем вероятность события С по теореме умножения вероятностей независимых событий (см. п. 6). 
.
Пусть событие А – в мишень попадет только один стрелок.
Заметим, что событие А означает следующее: в мишень попадет только первый стрелок (то есть первый попадет и второй не попадет) или в мишень попадет только второй стрелок (то есть второй попадет и первый не попадет). Тогда 
. События 
и 
несовместны, так как имеют множители, являющиеся противоположными событиями. Значит, к ним применима теорема сложения вероятностей для несовместных событий. События и независимы, значит, наступление 
не изменяет вероятности 
. Из этого следует, что и ненаступление (то есть наступление 
) не меняет вероятности . Значит, независимы и 
, 
и , и к этим парам событий применима теорема умножения независимых событий. Учитывая, что 
, имеем:
=
=0,9(1-0,8)+(1-0,9)0,8=0,9
0,2+0,10,8=0,18+0,08=0,26.
Пусть событие В - мишень будет поражена. Это произойдет, если в мишень попадет хотя бы один стрелок: или только первый, или только второй, или оба (и первый, и второй). Значит 
. Рассуждая аналогично пункту а), имеем:
Найти вероятность события В можно, используя теорему сложения совместных событий и . Согласно определению суммы событий 
.
=
= 0,9+0,8– 0,9
0,8 = 1,7– 0,72 = 0,98.
Найти вероятность события В можно, используя подход “от противного”. Событием, противоположным к В, является событие 
- ни один стрелок не попадет в мишень. Тогда имеем:
Задача 3
Найти вероятность того, что при 4 бросках игральной кости «шестерка» выпадет: 1) ровно 1 раз; 2) ровно 2 раза; 3) хотя бы один раз.
Очевидно, что в данной задаче идет речь о повторении испытаний, то есть она относится к схеме Бернулли (см. п. 7).
Произведенное испытание – бросание игральной кости.
Событие А (успех) – выпадение шестерки. Событие 
(неудача) – выпадение любого числа очков, кроме шести. По классическому определению вероятности имеем:
.
Таких испытаний, согласно условию, производится четыре.
|
Из за большого объема этот материал размещен на нескольких страницах:
1 2 3 4 |
