Пусть событие 
– шестерка появится ровно один раз. Тогда вероятность того, что в 4-х независимых испытаниях будет 1 успех, найдем по формуле Бернулли:
,
Пусть событие 
– шестерка появится ровно два раза. Тогда вероятность того, что в 4-х независимых испытаниях будет 2 успеха, найдем по формуле Бернулли:
.
Пусть событие В - шестерка появится хотя бы один раз. Найдем вероятность от обратного.
Здесь событие, противоположное к В, это событие 
– шестерка не появится ни разу. Тогда вероятность того, что в 4-х независимых испытаниях будет 0 успехов, найдем так:
.
Тогда 
.
Задача 4
Дискретная случайная величина задана таблицей.
х | 0 | 1 | 2 | |
p | 0,81 | 0,18 | 0,01 |
Найти ее математическое ожидание, дисперсию, трехсигмовый интервал и вынести их на многоугольник распределения.
По формуле (см п. 9):
.
Дисперсию найдем по формуле (см. п.10):
.
Среднеквадратическое отклонение случайной величины найдем по формуле: 
Трехсигмовый интервал, это интервал с границами 
и 
. В него, с вероятностью, близкой к 1, попадают все значения случайной величины.
В нашем случае 
;
.
Многоугольник распределения это ломаная линия с узлами в точках 
(см. п. 9).
Задача 5
Дан дискретный вариационный ряд
xi | 2 | 4 | 6 | 8 | 10 |
ni | 4 | 6 | 5 | 3 | 1 |
Найти оценки меры центральной тенденции и оценки меры изменчивости. Построить эмпирическую функцию распределения.
Найдем объем выборки. 
К оценкам меры центральной тенденции относятся Мода, Медиана и Выборочное среднее.
Мода выборки – это наиболее часто встречающееся выборочное значение. В данном случае, мода равна 4, так как именно 4 встречается в выборке наибольшее количество раз – 6 раз.
Медиана выборки – это середина ранжированного ряда. Иначе говоря – это точка числовой оси, левее и правее которой лежит по 50 % выборочных данных.
Для дискретного вариационного ряда, при нечетном n, медиана находится по формуле: 
. Десятое место в данном вариационном ряду занимает 4, так как первые 4 места занимает 3, а следующие 6 мест ( с 5-ог по 10-ое) занимает именно 4. Поэтому Ме = 4.
Выборочное среднее – это точечная оценка математического ожидания генеральной совокупности. Для сгруппированной выборки формула для нахождения выборочного среднего имеет вид:
.
Здесь n – объем выборки, k – количество групп выборки, 
– варианты, 
– соответствующие им частоты.
К оценкам меры изменчивости относятся Выборочная дисперсия, Выборочное среднеквадратическое отклонение, Исправленная дисперсия, Стандартное отклонение (см. п. 22-25).
Выборочная дисперсия – это точечная оценка дисперсии генеральной совокупности.
Для сгруппированной выборки формула для нахождения выборочной дисперсии может принимать вид:
.
Здесь n – объем выборки, k – количество групп выборки, – варианты, – соответствующие им частоты.
.
Выборочное среднеквадратическое отклонение – это точечная оценка среднеквадратического отклонения генеральной совокупности. 
.
Исправленная дисперсия это наилучшая оценка генеральной дисперсии.
.
Исправленной среднеквадратическое отклонение или стандартное отклонение – это наилучшая оценка среднеквадратического отклонения генеральной совокупности. 
.
Эмпирическая функция распределения находится по формуле:
.
Здесь n – это объем выборки; 
– это накопленная частота числа х, т. е. число выборочных данных, строго меньших х.
Эмпирическая функция распределения – ступенчатая. Разобьем ось на интервалы точками 2, 4, 6, 8, 10, и применим данную формулу для каждого интервала в отдельности.
1) 
.
, так как левее , на числовой оси нет выборочных данных.
2) 
.
, так как левее , на числовой оси лежат только варианты, равные 2, их 4 штуки.
3) 
.
, так как левее , на числовой оси лежат варианты, равные 2, их 4 штуки и варианты, равные 4, их 6 штук. Итого: 10 штук.
Аналогично далее.
4) 
.
.
5) 
.
.
6) 
.
, так как левее , на числовой оси лежат все 19 вариант.
В результате, получили эмпирическую функцию распределения вида:
Задача 6
Дан интервальный ряд.
ai – ai+1 | 2 – 4 | 4 – 6 | 6 – 8 | 8 – 10 | 10 – 12 |
ni | 1 | 3 | 7 | 5 | 2 |
Построить гистограмму. Найти моду по гистограмме. Построить кумуляту. Найти медиану по кумуляте.
Гистограмма – это ступенчатая фигура, состоящая из прямоугольников, основаниями которых являются частичные интервалы, а высоты соответствуют частоте.
Найдем моду интервального ряда по гистограмме, как абсциссу пересечения условных диагоналей самого большого прямоугольника гистограммы.
На нашем рисунке видно, что мода приблизительно равна 7,5.
Кумулята интервального ряда – это ломаная линия, с узлами в точках 
.
Для построения кумуляты заполним вспомогательную таблицу, отражающую соответствие между границами интервалов и их накопленными частотами (см. п. 14)
| 2 | 4 | 6 | 8 | 10 | 12 |
| 0 | 1 | 4 | 10 | 15 | 17 |
Построим кумуляту.
По кумуляте можно найти медиану интервального ряда. Для этого, на оси ординат надо найти точку, соответствующую половине объема выборки. В нашем случае объем выборки равен 17, значит нужная точка – 8,5. Совместить уровень 50% с кумулятой и найти абсциссу точки пересечения. Это и будет медиана.
На рисунке видно, что медиана приблизительно равна 7,7.
|
Из за большого объема этот материал размещен на нескольких страницах:
1 2 3 4 |
