Открытый урок по алгебре и началам анализа в 11 классе. Тема: «Иррациональные уравнения»

Открытый урок по алгебре и началам анализа в 11 классе.

Тема: «Иррациональные уравнения».

Тип урока: урок повторения и обобщения пройденного материала.

Цели урока: 1)обучающие:

-формировать у учащихся умения решать иррациональные уравнения разными способами: с помощью равносильных преобразований, с помощью замены переменной;

-формировать навыки решения тригонометрических и логарифмических уравнений;

-формировать умения решать иррациональные уравнения, содержащие двойные радикалы и логарифмы и тригонометрические функции;

-формировать умения и навыки решения иррациональных уравнений с параметром;

2)развивающие:

-развивать у учащихся логическое мышление;

- развивать умение обобщать полученные ранее знания;

- развивать навыки исследовательской деятельности;

3)воспитательные:

-воспитывать у учащихся такие качества, как аккуратность, самоконтроль, трудолюбие.

1.Организационный момент. Приветствие учащихся, запись в тетради даты и темы урока.

Объявление целей урока: сегодня на уроке мы повторим основные способы решения иррациональных уравнений, используем эти способы для решения уравнений, содержащих двойные радикалы, радикалы и логарифмы, радикалы и тригонометрические функции, выполним задание с параметром.

2.Начнём урок с устных заданий.

1)На доске записаны уравнения. Докажите, что они не имеют решений.

	Левая часть уравнения представляет собой сумму двух неотрицательных выражений. Сумма равна нулю, если каждое слагаемое равно нулю. Первое слагаемое обращ. в 0 при х=-2, второе при х=2.Значит, уравнение не имеет решений.
	ОДЗ: Корней нет.
	ОДЗ: Тогда , значит. Поэтому уравнение не имеет решений.

2)Решите уравнения:

	Функция возрастающая, функция постоянная. Графики этих функций пересекаются не более, чем в одной точке, значит уравнение имеет не более одного решения. 0- корень, так как 2+3=5
	1 способ. Как в предыд. случае: х=3. 2 способ. х=3. 3- корень, так как 0=0.

3)При каких значениях параметра равносильны уравнения:

и	При возведении в квадрат обеих частей первого уравнения ставим условие и получаем второе уравнение. Значит эти уравнения равносильны при .
и	Если , то уравнения равносильны, так как оба уравнения имеют только корень 0. Если , то уравнения равносильны, так как оба уравнения имеют только корень 0. Если , то уравнения не равносильны, так как корень первого уравнения 0, а второе имеет корни .

3. Решение иррациональных уравнений.

Сначала решим уравнение, которое содержит не только радикалы, но и тригонометрические функции.

№1.

Каким способом будем решать это уравнение?

Перенесём второе слагаемое в правую часть и возведём обе части уравнения в квадрат.

К доске идет решать _________________________

Это уравнение равносильно системе

Решим уравнение

.

Если - корень уравнения и , то уравнение принимает вид что противоречит основному тригонометрическому тождеству, значит . Разделим обе части уравнения на .

. Пусть , тогда

Учитывая замену, получаем:

.

-

решения заданного уравнения.

Следующее уравнение содержит радикалы и логарифмы.

№2.

.

Подумайте, каким способом можно решить это уравнение?	Возведением в квадрат, заменой переменной.
Если использовать замену, то какое выражение заменять?	Могут предложить: .
Выберем последнюю замену. Чем она удобна?	Переходим к уравнению, не содержащему корни.

К доске идет решать _________________________

Пусть , тогда .

Но , значит .

Учитывая замену, получаем уравнение

Проверка: - верно,

значит, - корень заданного уравнения.

Ответ: .

Следующее задание взято из теста повышенного уровня сложности, который был предложен на вступительном экзамене по математике в ВВУЗе:

№3.

Укажите все значения , при каждом из которых уравнение имеет хотя бы один корень.

Какими способами можно выполнить это задание?	Аналитическим (возвести в квадрат обе части уравнения) графическим, функционально-графическим.
Выполним задание, используя исследование функции.

К доске идет решать _________________________

Рассмотрим функцию . Найдём её область определения, для этого решим систему уравнений:

 

. Функция непрерывна на области определения.

на , значит функция возрастает на .

,

,

, тогда .

Прямая пересекает график функции, причём ровно в одной точке при , а, значит, при этих значениях параметра уравнение имеет хотя бы одно решение.

Ответ: .

А теперь решим уравнение, которое содержит двойные радикалы:

№4.

.

Каким способом можно решить это уравнение?

С помощью замены переменной .

К доске идет решать _________________________

Пусть , , тогда

Получим уравнение: .

.

Так как , то получаем уравнение .

Итак, , тогда .

Ответ: 16.

4. Дополнительное задание:

№5.

Решите уравнение: .

К доске идет решать _________________________

.

ОДЗ:

Итак, .

1) корень, так как 0+0=0 – верно.

2) Пусть , тогда получаем уравнение:

Это уравнение равносильно системе:

 

решений нет.

3) Пусть , тогда получим уравнение:

 

но , поэтому .

Ответ: -1; 5.

5. Подведение итогов.

Сегодня на уроке мы, решая иррациональные уравнения, повторили основные способы их решения, в том числе выполнили задание с параметром.