https://chart.googleapis.com/chart?cht=tx&chl=S_%7by%7d%20=%20\sqrt%7b%20\frac%7b\sum%7b\left(y_%7bi%7d%20-%20y_%7bt%7d%5e%7b2%7d\right)%7d%7d%7bn%20-%20m%20-%201%7d%7d
где m = 1 - количество влияющих факторов в модели тренда.

https://chart.googleapis.com/chart?cht=tx&chl=S_%7by%7d%20=%20\sqrt%7b\frac%7b1913.68%7d%7b7%7d%7d%20=%2016.53
https://chart.googleapis.com/chart?cht=tx&chl=S_%7ba%7d%20=%20S_%7by%7d%20\frac%7b\sqrt%7b\sum%7bt%5e%7b2%7d%7d%7d%7d%7bn%20\sigma%20_%7bt%7d%7d
https://chart.googleapis.com/chart?cht=tx&chl=S_%7ba%7d%20=%2016.53%20\frac%7b%20\sqrt%7b285%7d%7d%7b9\cdot%202.58%7d%20=%2012.01
https://chart.googleapis.com/chart?cht=tx&chl=S_%7bb%7d%20=%20\frac%7bS_%7by%7d%7d%7b\sqrt%7bn%7d\sigma%20_%7bt%7d%7d%20=%20\frac%7b16.53%7d%7b2.58\sqrt%7b9%7d%7d%20=%202.13
По таблице Стьюдента находим Tтабл

Tтабл (n-m-1;α/2) = (7;0.025) = 2.365

Рассчитаем границы интервала, в котором будет сосредоточено 95% возможных значений Y при неограниченно большом числе наблюдений и t = 3
(a + btp ± ε)

Где


https://chart.googleapis.com/chart?cht=tx&chl=\epsilon%20%20=%202.365\cdot%2016.534\sqrt%7b\frac%7b1%7d%7b9%7d%20%2B%20\frac%7b\left(0-3\right)%5e%7b2%7d%7d%7b60%7d%7d%20=%2019.982
y(3) = -5.198*3 + 1311.936 = 1296.341
(1296.341 - 19.982 ; 1296.341 - 19.982)
(1276.36;1316.323)
Интервальный прогноз.

Определим среднеквадратическую ошибку прогнозируемого показателя.
Uy = yn+L ± K

где
https://chart.googleapis.com/chart?cht=tx&chl=K%20=%20t_%7ba%7dSy%20\sqrt%7b1%20%2B%20\frac%7b1%7d%7bn%7d%20%2B%20\frac%7b3\left(n%2B2L-1\right)%5e%7b2%7d%7d%7bn\left(n%5e%7b2%7d%20-%201\right)%7d%7d
L - период упреждения; уn+L - точечный прогноз по модели на (n + L)-й момент времени; n - количество наблюдений во временном ряду; Sy - стандартная ошибка прогнозируемого показателя; Tтабл - табличное значение критерия Стьюдента для уровня значимости α и для числа степеней свободы, равного n-2.

По таблице Стьюдента находим Tтабл

Tтабл (n-m-1;α/2) = (7;0.025) = 2.365

Точечный прогноз, t = 10: y(10) = -5.2*10 + 1311.94 = 1259.95

https://chart.googleapis.com/chart?cht=tx&chl=K_%7b1%7d%20=%202.365\cdot%2016.53%20\sqrt%7b1%20%2B%20\frac%7b1%7d%7b9%7d%20%2B%20\frac%7b3\left(9%2B2\cdot%201-1\right)%5e%7b2%7d%7d%7b9\left(9%5e%7b2%7d%20-%201\right)%7d%7d%20=%2048.33
1259.95 - 48.33 = 1211.62 ; 1259.95 + 48.33 = 1308.28

Интервальный прогноз:

t = 10: (1211.62;1308.28)

Точечный прогноз, t = 11: y(11) = -5.2*11 + 1311.94 = 1254.75

https://chart.googleapis.com/chart?cht=tx&chl=K_%7b2%7d%20=%202.365\cdot%2016.53%20\sqrt%7b1%20%2B%20\frac%7b1%7d%7b9%7d%20%2B%20\frac%7b3\left(9%2B2\cdot%202-1\right)%5e%7b2%7d%7d%7b9\left(9%5e%7b2%7d%20-%201\right)%7d%7d%20=%2051.15
1254.75 - 51.15 = 1203.6 ; 1254.75 + 51.15 = 1305.9

Интервальный прогноз:

t = 11: (1203.6;1305.9)

Точечный прогноз, t = 12: y(12) = -5.2*12 + 1311.94 = 1249.56

https://chart.googleapis.com/chart?cht=tx&chl=K_%7b3%7d%20=%202.365\cdot%2016.53%20\sqrt%7b1%20%2B%20\frac%7b1%7d%7b9%7d%20%2B%20\frac%7b3\left(9%2B2\cdot%203-1\right)%5e%7b2%7d%7d%7b9\left(9%5e%7b2%7d%20-%201\right)%7d%7d%20=%2054.29
1249.56 - 54.29 = 1195.27 ; 1249.56 + 54.29 = 1303.85

Интервальный прогноз:

t = 12: (1195.27;1303.85)

3. Проверка гипотез относительно коэффициентов линейного уравнения тренда.

t-статистика. Критерий Стьюдента.

НЕ нашли? Не то? Что вы ищете?

https://chart.googleapis.com/chart?cht=tx&chl=t_%7bb%7d%20=%20\frac%7bb%7d%7bS_%7bb%7d%7d
https://chart.googleapis.com/chart?cht=tx&chl=t_%7bb%7d%20=%20\frac%7b5.198%7d%7b2.13%7d%20=%202.44%3E2.365
Статистическая значимость коэффициента b подтверждается

https://chart.googleapis.com/chart?cht=tx&chl=t_%7ba%7d%20=%20\frac%7ba%7d%7bS_%7ba%7d%7d
https://chart.googleapis.com/chart?cht=tx&chl=t_%7ba%7d%20=%20\frac%7b1311.94%7d%7b12.01%7d%20=%20109.22%3E2.365
Статистическая значимость коэффициента a подтверждается

Доверительный интервал для коэффициентов уравнения тренда.
Определим доверительные интервалы коэффициентов тренда, которые с

надежность 95% будут следующими:

(b - tнабл Sb; b + tнабл Sb)

(-5.198 - 2.365•2.13; -5.198 + 2.365•2.13)

(-10.25;-0.15)
(a - tнабл Sa; a + tнабл Sa)

(1311.936 - 2.365•12.01; 1311.936 + 2.365•12.01)

(1283.53;1340.34)
F-статистика. Критерий Фишера.


https://chart.googleapis.com/chart?cht=tx&chl=F%20=%20\frac%7bR%5e%7b2%7d%7d%7b1%20-%20R%5e%7b2%7d%7d\frac%7bn%20-%20m%20-%201%7d%7bm%7d%20=%20\frac%7b0.46%7d%7b1%20-%200.46%7d\frac%7b9-1-1%7d%7b1%7d%20=%205.93
Находим из таблицы Fkp(1;7;0.05) = 5.59

где m - количество факторов в уравнении тренда (m=1).

Поскольку F > Fkp, то коэффициент детерминации (и в целом уравнение тренда) статистически значим

t

y

y(t)

|y - y(t)|

1

1278.6

1306.74

28.14

2

1318.3

1301.54

16.76

3

1313.5

1296.34

17.16

4

1293.9

1291.14

2.76

5

1273.7

1285.94

12.24

6

1285.6

1280.75

4.85

7

1287.1

1275.55

11.55

8

1272.7

1270.35

2.35

9

1250.1

1265.15

15.05


Проверка на наличие автокорреляции остатков.

Важной предпосылкой построения качественной регрессионной модели по МНК является независимость значений случайных отклонений от значений отклонений во всех других наблюдениях. Это гарантирует отсутствие коррелированности между любыми отклонениями и, в частности, между соседними отклонениями.

Автокорреляция (последовательная корреляция) определяется как корреляция между наблюдаемыми показателями, упорядоченными во времени (временные ряды) или в пространстве (перекрестные ряды). Автокорреляция остатков (отклонений) обычно встречается в регрессионном анализе при использовании данных временных рядов и очень редко при использовании перекрестных данных.

В экономических задачах значительно чаще встречается положительная автокорреляция, нежели отрицательная автокорреляция. В большинстве случаев положительная автокорреляция вызывается направленным постоянным воздействием некоторых неучтенных в модели факторов.

Отрицательная автокорреляция фактически означает, что за положительным отклонением следует отрицательное и наоборот. Такая ситуация может иметь место, если ту же зависимость между спросом на прохладительные напитки и доходами рассматривать по сезонным данным (зима-лето).

Среди основных причин, вызывающих автокорреляцию, можно выделить следующие:

1. Ошибки спецификации. Неучет в модели какой-либо важной объясняющей переменной либо неправильный выбор формы зависимости обычно приводят к системным отклонениям точек наблюдения от линии регрессии, что может обусловить автокорреляцию.
2. Инерция. Многие экономические показатели (инфляция, безработица, ВНП и т. д.) обладают определенной цикличностью, связанной с волнообразностью деловой активности. Поэтому изменение показателей происходит не мгновенно, а обладает определенной инертностью.

3. Эффект паутины. Во многих производственных и других сферах экономические показатели реагируют на изменение экономических условий с запаздыванием (временным лагом).

4. Сглаживание данных. Зачастую данные по некоторому продолжительному временному периоду получают усреднением данных по составляющим его интервалам. Это может привести к определенному сглаживанию колебаний, которые имелись внутри рассматриваемого периода, что в свою очередь может служить причиной автокорреляции.

Последствия автокорреляции схожи с последствиями гетероскедастичности: выводы по t - и F-статистикам, определяющие значимость коэффициента регрессии и коэффициента детерминации, возможно, будут неверными.
Обнаружение автокорреляции

1.  Графический метод

Есть ряд вариантов графического определения автокорреляции. Один из них увязывает отклонения εi с моментами их получения i. При этом по оси абсцисс откладывают либо время получения статистических данных, либо порядковый номер наблюдения, а по оси ординат – отклонения εi (либо оценки отклонений).
Естественно предположить, что если имеется определенная связь между отклонениями, то автокорреляция имеет место. Отсутствие зависимости скорее всего будет свидетельствовать об отсутствии автокорреляции.
Автокорреляция становится более наглядной, если построить график зависимости

Из за большого объема этот материал размещен на нескольких страницах:
1 2 3 4