Регулярный метод синтеза алфавита квазиортогональных фазокодированных дискретных последовательностей «Системы Гаусса»

РЕГУЛЯРНЫЙ МЕТОД СИНТЕЗА АЛФАВИТА КВАЗИОРТОГОНАЛЬНЫХ ФАЗОКОДИРОВАННЫХ ДИСКРЕТНЫХ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТЕЙ «СИСТЕМЫ ГАУССА»1

2, 2

2Марийский государственный технический университет, 424000, Йошкар-Ола, пл. Ленина 3. Тел. [phone]. E-mail: *****@***mari. ru

Разработан регулярный метод синтеза алфавита квазиортогональных в широком смысле фазокодированных дискретных последовательностей с идеальными свойствами циклической автокорреляционной функции.

Введение

Исследованием проблемы синтеза сложных сигналов с хорошими корреляционными характеристиками, начиная с 50-х годов прошлого столетия, занимаются многочисленные научные коллективы у нас в стране и за рубежом. Особый интерес среди синтезируемых кодовых последовательностей представляют фазокодированные дискретные последовательности (ФКП), обладающие идеальными свойствами циклической автокорреляционной функции (АКФ) т. е. нулевым уровнем боковых лепестков циклической АКФ, которую можно определить на основании выражения:

, ,

(1)

где - количество кодовых элементов в последовательности, - комплексно сопряженный кодовый элемент ФКП , которую можно представить в следующем виде:

, ,

(2)

где значение фазы на каждом -ом кодовом интервале определяется из диапазона , модуль каждого кодового элемента , - количество кодовых элементов в ФКП, - мнимая единица.

Теория синтеза ФКП с идеальными автокорреляционными свойствами достаточно развита, но была далека от своего завершения. При больших градациях фаз был синтезирован ряд последовательностей, обладающих нулевым уровнем боковых лепестков циклической АКФ (коды Френка, коды класса р). Однако множество найденных последовательностей является далеко не полным по сравнению с множеством всех возможных ФКП, обладающих идеальными свойствами циклической АКФ. В работе [1] разработан метод синтеза ФКП, позволяющий получить все возможные ФКП заданной размерности с нулевым уровнем боковых лепестков циклической АКФ.

Второй не менее важной проблемой в теории синтеза сложных сигналов является задача синтеза ортогональных и квазиортогональных ФКП, т. е. таких сигналов, у которых циклическая взаимная корреляционная функция (ВКФ) равномерна и имеет нулевой уровень отсчётов. Такими свойствами обладают, например, элементарные контуры [2] и функции Радемахера [3]. Поэтому актуальной является задача поиска ортогональных сигналов из общего объёма ФКП, синтезированных в работе [1].

Ортогональные и квазиортогональные алфавиты фазокодированных последовательностей

Нормированную циклическую ВКФ двух ФКП и определим на основании выражения:

, ,

(3)

где - размерность ФКП.

Последовательности и назовем ортогональными в широком смысле, если все отсчеты их нормированной циклической ВКФ равны нулю. Семейство всех возможных взаимноортогональных ФКП размерности назовем ортогональным алфавитом, а количество элементов алфавита (объем) обозначим через . Примером известных ортогональных в широком смысле ФКП являются элементарные контуры [2] размерностью и функции Радемахера [3] размерностью , которые образуют ортогональные алфавиты ФКП объёмом и соответственно.

Введём понятие квазиортогонального алфавита. Для любых двух дискретных последовательностей и , принадлежащих одному квазиортогональному алфавиту должно выполняться равенство:

(4)

Равенство (4) должно выполняться при условии: , где - некоторое неотрицательное вещественное число. ФКП и назовём квазиортогональными в широком смысле. Семейство всех возможных взаимноквазиортогональных ФКП размерности назовем квазиортогональным алфавитом, а количество элементов алфавита (объем) обозначим через .

Исследования показали, что синтезированные в работе [1] ФКП с идеальными свойствами циклической АКФ могут обладать равномерной нормированной циклической ВКФ с уровнем модулей отсчётов равным , в том случае, если размерность данных ФКП нечётное число [4]. При больших значениях такие последовательности можно считать квазиортогональными, т. к. уровень модулей отсчётов их нормированной циклической ВКФ будет стремиться к нулю, т. е. . Таким образом, данные дискретные последовательности образуют алфавит квазиортогональных ФКП.

Постановка задачи синтеза алфавита квазиортогональных фазокодированных последовательностей «системы Гаусса»

Задача получения алфавита квазиортогональных ФКП заданной размерности из общего объёма дискретных последовательностей, синтезированных в работе [1], сводится к нахождению таких последовательностей, для которых выполняется условие:

(5)

где, и - ФКП, принадлежащие одному алфавиту, - размерность ФКП, - модуль нормированной циклической ВКФ.

На основании (2) выражение (5) можно записать в следующем виде:

(6)

где , , и - значения фаз ФКП и соответственно.

Аргументы экспонент в сумме (6) являются разностью углов и могут быть представлены в виде некоторой функции, зависящей от четырех аргументов : . Так как суммирование ведется по индексу , то необходимо определить вид функции , чтобы выполнялось условие:

(7)

Выражение (7) представляет собой тригонометрическую сумму, поэтому в дальнейшем для решения поставленной задачи синтеза алфавита квазиортогональных ФКП применим теорию тригонометрических сумм [5, 6].

Синтез алфавита квазиортогональных фазокодированных последовательностей «системы Гаусса»

Все возможные ФКП «системы Гаусса» с идеальными свойствами циклической АКФ можно представить в виде [4]:

(8)

где , , - вычеты по модулю взаимно простые с , , - функция Эйлера от числа .

На основании (6) и (8) выражение для модуля циклической ВКФ двух ФКП системы Гаусса представим в следующем виде:

(9)

где и - числа взаимно простые с , , - нечетное число.

Пусть , . Покажем, что при нечетном и взаимно простом с выполняется равенство:

(10)

Отметим, что выражение (10) представляет собой частный случай сумм Вейля [5] и является полной тригонометрической суммой.

Выберем так, чтобы выполнялось сравнение . Очевидно, что и, следовательно:

(11)

Отсюда получаем равенство:

(12)

Выражение (12) представляет собой полную тригонометрическую сумму. Величина полной тригонометрической суммы не изменится, если переменная суммирования вместо интервала будет пробегать любую полную систему вычетов по модулю . В случае взаимно простом с , натуральном и целом для полной тригонометрической суммы будет выполняться равенство:

(13)

так как линейная функция одновременно с пробегает полную систему вычетов по модулю . Полученная сумма:

(14)

при взаимно простом с является суммой Гаусса [5]. Для модуля суммы Гаусса выполняется равенство:

(15)

Таким образом, нормированная циклическая ВКФ двух ФКП, задаваемых с помощью выражения (8), будет квазиортогональной и равной:

(16)

если выполняются условия: - нечетное число, , а разность - число взаимно простое с .

Заключение

Алгоритм синтеза всех возможных квазиортогональных алфавитов системы Гаусса можно представить в следующем виде:

1.  Определяется система вычетов по модулю нечетного числа взаимно простых с , где - функция Эйлера.

2.  Определяется наименьшее число в разложении числа .

3.  Среди всех сочетаний по вычетов по модулю взаимно простых с из возможных вычетов отбираются -ые сочетания вычетов , которые удовлетворяют условию: , , .

4.  Полная система ФКП заданной размерности , образующих искомый квазиортогональный алфавит имеет вид:

(17)

где , .

Ссылки

1.  Leukhin A. N. Algebraic solution of the synthesis problem for coded sequences // Quantum Electronics. - 2005. - V.35, № 8. - p. 688 - 692.

2.  , , Леухин ред. Фурмана. в контурный анализ и его приложения к обработке изображений и сигналов. - М.: Физматлит, 2002.

3.  Гоноровский цепи и сигналы / . - М: Радио и связь, 1986.

4.  , , Бахтин и анализ сложных фазокодированных последовательностей. // Электромагнитные волны и электронные системы. - 2007. №4. - С. 32 - 37.

5.  Коробов, суммы и их приложения / . - М.: Наука, 1989.

6.  онечные поля: в 2-х томах / - М.: Мир, 1988.