Линейные дифференциальные уравнения высших порядков (стр. 2 )

Таблица 1

	Корни характеристического уравнения	ФСР уравнения
1 2 3	действительные различные r1 ≠ r2 (D > 0) действительные кратные r1 = r2 (D = 0) комплексные сопряженные r1,2 = a+ bi (D < 0)	- домножаем на х, чтобы у1 и у2 были линейно независимы

Общее решение дифференциального уравнения составляют в зависимости от корней характеристического уравнения из функций, являющихся ФСР для

·  действительных различных корней r1 ≠ r2 Þ уоб = ;

·  действительных кратных корней r1 = r2 Þ уоб = ;

·  комплексно сопряженных корней r1,2 = a+ biÞ уоб =.

Замечания. 1) Линейную независимость функций у1 и у2 проверить с помощью определителя Вронского.

2) Проверим, что частное решение удовлетворяет уравнению . Для этого найдем и и подставим в уравнение:

, так как (r1 – корень характеристического уравнения) и из теоремы Виета для приведенного уравнения Þ r1 + r2 = -p (в нашем случае r1 + r2 = r1 + r1 = –p; 2 r1 = –p).

Пример 2. Найти общее решение для уравнения: а) и частное (задача Коши) для уравнения б) при начальных условиях: у(0)=1; у΄(0)=-4.

Для нахождения ФСР уравнения а) составим по внешнему виду характеристическое уравнение: и найдем его корни r1 = r2 = 3, то есть корни кратные. Тогда уоб =.

б) составим по внешнему виду характеристическое уравнение: и найдем его корни . Видим, что корни являются комплексными с действительной частью равной 2 и мнимой частью равной 3. Тогда общее решение будет составлено из функций у1 = е2хcosх и у2 = е2хsinх, являющихся ФСР данного уравнения и записано как семейство интегральных кривых: уоб =.

Чтобы из семейство интегральных кривых выделить единственную кривую, удовлетворяющую условиям задачи Коши, найдем с1 и с2. Для этого найдем производную от общего решения и в уоб и у΄об подставим х = 0, у(0) = 1, у΄(0)=-4.

уоб =.

у΄об = 2+.

Получим систему двух уравнений с двумя неизвестными с1 и с2:

и частное решение (задача Коши) будет записано как учр = .

Линейные неоднородные дифференциальные уравнения 2-го порядка с постоянными коэффициентами.

Рассмотрим неоднородное линейное дифференциальное уравнение 2-го порядка, имеющее решением функцию у = , где - частное решение, зависящее от функции, стоящей в уравнении справа.

Теорема 3 (структура общего решения линейного неоднородного дифференциального уравнения второго порядка).

Общим решением неоднородного уравнения (у) является сумма решения соответствующего однородного уравнения :

уод = с1 у1(х) +с2 у2(х) и частного решения , зависящего от функции, стоящей в уравнении справа, то есть у = , где все частные решения у1(х), у2(х), - линейно независимые функции.

Так как уод обращает в тождество уравнение , являясь его решением, то,

а обращает в тождество неоднородное уравнение ,

являясь его решением, то есть,

то покажем, что у = является решением уравнения.

Подставим у = в неоднородное уравнение :

,

что и требовалось доказать, то есть функция - решение неоднородного уравнения.

Далее покажем, что функция у = является общим решением уравнения, то есть из него можно выделить единственную кривую, удовлетворяющую начальным условиям: у(х0) = у0; у΄(х0) = у΄0.

Продифференцируем функцию у = и вычислим ее и производную от нее в точке х0.

- система двух уравнений с двумя неизвестными с1 и с2. Определитель системы есть определитель Вронского для линейно независимых функций однородного уравнения, соответствующего неоднородному.

Следовательно, система имеет единственное решение: Тогда существует общее решение неоднородного линейного дифференциального уравнения: уоб = и частное решение , удовлетворяющее заданным начальным условиям (решение задачи Коши).

На основании теорем 2 и 3 можно найти общее решение уоб =

неоднородного линейного дифференциального уравнения 2-го порядка . Если известно уод = , то можно подобрать методом ВАРИАЦИИ ПРОИЗВОЛЬНЫХ ПОСТОЯННЫХ с1 и с2.

Для этого по виду уод составим уоб = для неоднородного уравнения.

Продифференцируем . Подберем функции с1(х) и с2(х) так, чтобы .

Тогда и .

Подставляя уоб, и в уравнение , получим:

p()+ q() = f(x). Сгруппируем по варьируемым функциям с1(х) и с2(х)

с1(х)( ) + с2(х)( ) + = f(x) (*). Так как у1(х) и у2(х) - решения однородного уравнения , то и , то из (*) получим: .